第8章常微分方程边值问题的数值解法教程.doc

第章 常微分方程数值解法 .1 引 言(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为例介绍常用的数值方法。 一般的二阶常微分方程(boundary-value problems for second-order ordinary differential equations)为 , (8.1.1) 其边界条件为下列三种情况之一： (1) 第一类边界条件 (the first-type boundary conditions)： (2) 第二类边界条件 (the second-type boundary conditions)： (3) 第三类边界条件 (the third-type boundary conditions)： 定理8.1.1 设(.1.1)中的函数及其偏导数, 在 上连续. (1) 对所有，有； (2) 存在常数，对所有，有, 则边值问题(.1.1)有唯一解 若线性边值问题 (8.1.2) 满足 (1) 和在上连续； (2) 上, , 则边值问题(.1.1)有唯一解 (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)； (3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 8.2 差分法 .2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 其中在上连续，且. 用差分法解微分方程 (i) 把求解区间分成若干个等距或不等距的小区间，称之为单元； (ii) 构造逼近微分方程. 构造差分格式的方法有差分法, 积分插值法及变分插值法；本节采用差分法构造差分格式； (iii) 讨论差分解存在的唯一性、收敛性及稳定性；最后求解差分方程. 现在来建立相应于二阶线性常微分方程的边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分方程. ( i ) 把区间等分，即得到区间的一个网格剖分： , 其中分点，并称之为网格节点(grid nodes)；步长. ( ii ) 将二阶常微分方程(8.2.)在节点处离散化：在内部节点处用数值微分公式 (8.2.3) 代替方程(8.2.2)中，得 , (8.2.4) 其中. 当充分小时，略去式(8.2.4)中的，便得到方程(8.2.1)的近似方程 , (8.2.5) 其中, 分别是的近似值, 称式(8.2.5)为差分方程(difference equation)，而称为差分方程(8.2.5)逼近方程(8.2.2)的截断误差(truncation error). 边界条件(8.7.2)写成 (8.2.6) 于是方程(8.2.5), (8.2.6)合在一起就是关于个未知量，以及个方程式的线性方程组： (8.2.7) 这个方程组就称为逼近边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分方程组(system of difference equations)或差分格式(difference scheme)，写成矩阵形式 . (8.2.8) 用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组(8.2.7)或(8.2.8), 其解称为边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分解(difference solution). 由于(8.2.5)是用二阶中心差商代替方程(8.2.1)中的二阶微商得到的，所以也称式(8.2.7)为中心差分格式(centered-difference scheme). ( iii ) 讨论差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解是否收敛到边值问题(8.2.1), (8.2.2)的解，估计误差. 对于差分方程组(8.2.7)，我们自然关心它是否有唯一解；此外，当网格无限加密，或当时，差分解是否收敛到微分方程的解. 为此介绍下列极值原理： 定理8.2.1 (极值原理) 设是给定的一组不全相等的数，设 . (8.2.9) (1) 若, 则中非负的最大值只能是或； (2) 若, 则中非正的最小值只能是或.(1) 的情形，而(2) 的情形可类似证明. 用反证法. 记，假设, 且在中达到. 因为不全相等，所以总可以找到某个，使，而和中至少有一个是小于的. 此时 因为，所以, 这与假设矛盾，故只能是或. 证毕！ 推论 差分方程组(8.2