第9章矩阵特征值的数值解法教程.doc

第章 矩阵特征值的数值解法 .1 引言 矩阵特征值问题有广泛的应用背景. 例如动力系统和结构系统中的振动问题、电力系统的静态稳定分析上、工程设计中的某些临界值的确定等，都归结为矩阵特征值问题. . 本章介绍n阶实矩阵的特征值与特征向量的法..1.1 已知n阶实矩阵，如果存在常数和非零向量x，使 或 (.1.1) 那么称为A的(eigenvalue)，(eigenvector). 多项式 (.1.2) 称为(characteristic polynomial)， (9.1.3) 称为特征方程(characteristic equation). 注 式(9.1.3)是以为未知量的一元n次代数方程，是的n次多项式. 显然，的(9.1.3)的根. 特征方程(9.1.3)在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此n阶矩阵n个特征值. 除特殊情况 (如或为上(下)三角矩阵)外一般不直接求解(9.1.3)来求的, 原因是这样的算法往往不稳定. 在计算上常用的方法是幂法与反幂法和相似变换方法. 本章只介绍求矩阵特征值与特征向量的这两种基本方法.. 定理9.1.2 设阶方阵的特征值为，那么 (1) ; (2) . 定理9.1.3 如果是方阵的特征值，那么 (1) 是的特征值，其中是正整数; (2) 当是非奇异阵时，是的特征值. (3) 的特征值，其中是多项式 . 定义9.1.4 设都是阶方阵. 若有阶非奇异阵，使得，则称矩阵与(similar)，称为对进行(similarity transformation)，称为(similarity transformation matrix). 定理9.1.5 若矩阵与相似，则与的特征值相同. 定理9.1.6 如果是阶正交矩阵，那么 (1) ，且或; (2) 若，则, 即. .1.7 设是阶(1) 的特征值都是实数； (2) 有个线性无关的特征向量. 定理9.1.8 设是阶阶，使得， 其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵. 定理9.1.9 (圆盘定理) 矩阵的任意一个特征值至少位于复平面上的几个圆盘 ， 中的一个圆盘上。 9.2 幂法与反幂法 9.2.1 幂法及其加速 9.2.1.1 幂法 幂法是计算矩阵按模最大特征值(largest eigenvalue in magnitude)及相应特征向量的迭代法. . 幂法的一个很有用的特性是：它不仅可以求特征值，而且可以求相应的特征向量. 实际上，幂法经常用来求通过其他方法确定的特征值特征向量.具体过程.设矩阵的n个特征值满足 , (.2.1) 且有相应的n个线性无关的特征向量构成n维向量空间的一组基, 因此. 在中选取某个满足的非零向量. 用矩阵左乘. 再用矩阵左乘上式，得 . 这样下去，一般地有 (9.2.2) 记，则由(9.2.2)得 (9.2.3) 由(9.2.1)，结合式(9.2.3)，得 (9.2.4) 于是对充分大的k有 (9.2.5) 式(9.2.4)表明k的增大，序列越来接近A的应于的特征向的倍, 由此可确定对应于的特征向. 当k充分大的近似值. 上述收敛速度取决于比值.(9.2.3)知， . (9.2.6) 再由式(9.2.1)得 . (9.2.7) 结合式(9.2.6)和式(9.2.7)知，序列收敛速度取决于比值. 下面计算. 由(9.2.3)知 当k充分大时, . (9.2.5)，得 . 这表明两个相邻向量大体上只差一个常数倍，这个倍数就是A的按模最大特征值. 记, 则有 ， (9.2.8) 即两个相邻迭代向量对应分量的比值收敛到. 定义9.2.1 上述由已知非零向量及矩阵的乘幂构造向量序列来计算的按模最大特征值及相应特征向量的方法称为(power method)，其收敛速度由比值来确定，越小，收敛越快. 由幂法的迭代过程(9.2.)容易看出，如果（或），那么迭代向量的各个非零的分量将随着趋于无穷（或趋于零），这样在计算机上实现时就可能上溢(或下溢). 为了克服这个缺点，需将每步迭代向量进行规范化: . 若存在的某个分量，满足，则记. 将规范化,就把分量全部控制在中. 例如设，因为的所有分量中，绝对值最大的的是，所以，故. 得到下列算法： 9.2