第三章第7讲正弦定理与余弦定理教程.doc

第7讲　正弦定理与余弦定理 1．正弦定理和余弦定理 定 理 正弦定理 余弦定理 内 容 ＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b＋c－2bc； b2＝c＋a－2ca；c2＝a＋b－2ab变 形 形 式a＝2R＝2R c＝2R； ＝＝ sin C＝； ＝； ＝＝； ＝； ＝三角形中常用的面积公式(1)S＝(h表示边a上的高)；(2)S＝＝＝；(3)S＝(a＋b＋c)(r 1．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角进而求出其他的边和角时有时可能出现一解、两解或无解所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时等式两边一般不要约去公因式应移项提取公因式以免漏解．三角形解的判断 A为锐角A为钝角或直角图 形 关系式 a＝b解的个数 一解 两解 一解 一解 1．在△ABC中＝3＝5＝则＝(　　)　　　　　　　　　　 B． D．1 解析：B.在△ABC中由正弦定理＝得＝＝＝(必修5练习(1)改编)在△ABC中已知a＝5＝7＝8则A＋C＝(　　)解析：选＝＝＝所以B＝60所以A＋C＝120在△ABC中若a＝18＝24＝45则此三角形(　　)无解 有两解有一解 解的个数不确定解析：选.因为＝所以＝＝＝又因为ab所以B有两个．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边若＝＝10的面积为42则c＝________．解析：依题意可得＝又S＝＝42则c＝14.答案：14(2015·高考重庆卷)设△ABC的内角A的对边分别为a且a＝2＝－＝2则c＝________解析：因为 3＝2所以 3a＝2b.又a＝2所以 b＝3.由余弦定理可知c＝a＋b－2ab所以 c＝2＋3－2×2×3×＝16所以 c＝4.答案：4 考点一　利用正、余弦定理解三角形(高频考点)[学生用书] 利用正、余弦定理解三角形是高考的热点三种题型在高考中时有出现其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下三个命题角度：(1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数性质结合；(3)解三角形与三角恒等变换结合．　(1)(2016·高考全国卷Ⅲ)在△ABC中＝边上的高等于则＝(　　) B. C．－－(2)(2015·高考安徽卷)在△ABC中＝＝6＝3点D在BC边上＝BD求AD的长．[解]　(1)选设中角A的对边分别是a由题意可得＝c＝则a＝在中由余弦定理可得b＝a＋c－＝＋c3c2＝则b＝由余弦定理可得＝＝＝－故选(2)设△ABC的内角∠BAC所对边的长分别是a由余弦定理得a＝b＋c－2bc＝(3)＋－2×3＝18＋36－(－36)＝90.所以a＝3又由正弦定理得＝＝＝由题设知0＜B＜所以＝＝ ＝在△ABD中因为AD＝BD所以∠ABD＝∠BAD所以∠ADB＝－2B故由正弦定理得AD＝＝＝＝ 利用正、余弦定理解三角形的应用(1)解三角形时如果式子中含有角的正弦或边的一次式时则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边该三角形是确定的其解. 　1.(2016·高考山东卷)在△ABC中角A的对边分别为a已知2(＋)＝＋(1)证明：a＋b＝2c；(2)求的最小值．解：(1)证明：由2＝＋化简得2(＋)＝＋即2(A＋B)＝＋因为A＋B＋C＝所以(A＋B)＝(π－C)＝ C. 从而＋＝2由正弦定理得a＋b＝2c.(2)由(1)知c＝所以＝＝＝－， 当且仅当a＝b时等号成立．故的最小值为考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[学生用书] 　在△ABC中分别为内角A的对边且2a＝(2b＋c)＋(2c＋b)(1)求角A的大小；(2)若＋＝1试判断△ABC的形状．[解]　(1)由题意知根据正弦定理得2a＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c即a＝b＋c＋bc.①由余弦定理得a＝b＋c－2bc故＝－＝120(2)由①得＝＋＋又＋＝1故＝＝因为0故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形． 判断三角形形状的两种途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系通过因式分解、配方等得出边的相应关系从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系通过三角函数恒等变换得出内角的关系从而判 断出三角形的形状此时要注意应用A＋B＋C＝这个结论在两种解法的等式变形中一般两边不要约去公因式应移项提取公因式以免漏解．　2.(1)设△ABC的内角A所对的边分别为a若b＋c＝a则△ABC的形状为(　　)直角三角形　　　　　　　　锐角三角形钝角三角形 2)在△ABC中若b＝a＝a则△ABC的形状为________．解析：(1)依据题设条件的特点边化角选用正弦定理有＋＝则(B＋C)＝