第三章第7讲正弦定理、余弦定理教程.doc

第7讲　正弦定理、余弦定理,[学生用书～]) 1．正弦定理和余弦定理定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b＋c－2bc； ＝c＋a－2ca； ＝a＋b－2ab变形形式 a＝2R＝2R c＝2R； ＝＝ sin C＝； ＝； ＝＝； ＝； ＝2.三角形中常用的面积公式(1)S＝(h表示边a上的高)；(2)S＝＝＝；(3)S＝(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[做一做]在△ABC中＝3＝5＝则＝(　　). B． D．1 解析：选在△ABC中由正弦定理＝得＝＝＝已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边若cos＝＝10的面积为42则c＝________．解析：依题意可得＝又S＝＝42则c＝14.14 1．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角进而求出其他的边和角时有时可能出现一解、两解或无解所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时等式两边一般不要约去公因式应移项提取公因式以免漏解．三角形解的判断为锐角A为钝角图形 关系式 a＝b解的个数 一解 两解 一解 一解[做一做]在△ABC中若a＝18＝24＝45则此三角形(　　)A．无解 B．有两解有一解 D．解的个数不确定解析：选＝＝＝＝又∵ab有两个．(2014·高考福建卷)在△ABC中＝60＝2BC＝则AB等于________．解析：∵A＝60＝2＝设AB＝x由余弦定理得BC＝AC＋AB－2AC·AB化简得x－2x＋1＝0＝1即AB＝1.答案：1,[学生用书～) __利用正、余弦定理解三角形(高频考点)__利用正、余弦定理解三角形是高考的热点三种题型在高考中时有出现其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下三个命题角度：(1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数性质结合；(3)解三角形与三角恒等变换结合．　(1)(2014·高考北京卷)在△ABC中＝1＝2＝则c＝________； ＝________．(2)(2014·高考江苏卷)设△ABC的内角A所对边的长分别是a且b＝3＝1＝2B.求a的值；②求的值．[解析　(1)在△ABC中由余弦定理得＝把a＝1＝2＝代入可得c＝2.因为＝所以＝＝再由正弦定理得＝解得＝[答案]　2　(2)解：①因为A＝2B所以＝＝2由正、余弦定理得a＝2b·因为b＝3＝1所以a＝12＝2由余弦定理得＝＝＝－由于0A所以＝＝＝故in＝＋＝＋＝[规律方法]　在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更适合或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息．一般地如果式子中含有角的余弦或边的二次式要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时则要考虑两个定理都有可能用到．　1.(1)(2015·四川成都模拟)若△ABC的内角A满足6＝4＝3则＝(　　) B． D. (2)如图所示中已知点D在边BC上＝＝3＝3则BD的长为________．(3)在锐角三角形ABC中分别为内角A所对的边且满足－2b＝0.求角B的大小；若a＋c＝5且ac＝求的值．解析：(1)64sin B＝3即＝＝由正弦定理得＝＝可设a＝2k＝3k＝4k由余弦定理得＝＝(2)∵sin ∠BAC＝＝＝根据余弦定理可得＝＝＝＝答案：(1)　(2)(3)解：①因为－2b＝0所以－2＝0.因为所以＝又B为锐角则B＝由①可知＝因为b＝根据余弦定理得7＝a＋c－2ac， 整理得(a＋c)－3ac＝7.由已知a＋c＝5则ac＝6.又ac可得a＝3＝2.于是＝＝＝所以＝||cos A＝cb＝2×＝1.__利用正弦、余弦定理判定三角形的形状__　在△ABC中分别为内角A的对边且2a＝(2b＋c)＋(2c＋b)(1)求角A的大小；(2)若＋＝1试判断△ABC的形状．[解](1)由题意知根据正弦定理得2a＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c即a＝b＋c＋bc.①由余弦定理得a＝b＋c－2bc故cos＝－＝120(2)由①得＝＋＋又＋＝1故＝＝因0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．　本例的条件变为2a＝(2b－c)＋(2c－b)且in B＋＝试判断△ABC的形状．解：∵2a＝(2b－c)＋(2c－b)得2a＝(2b－c)b＋(2c－b)c即bc＝b＋ca2， ∴cos A＝＝＝60＋B＋C＝180＋C＝180－60＝120由in B＋＝得＋(120°－B)＝＋－＝sin B＋＝即(B＋30)＝1.又∵0＋30＋30＝90即B＝60＝B＝C＝60为正三角形．[规律方法]　判断三角形的形状主要有如下两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系通过因式分解、配方等得出边的相应关系从而判断三角