第三章线性代数教程.docx

第三章线性代数本章转入另一个话题，解线性方程组。不是解初中学过的二元或三元线性方程组，而是一般的N元线性方程组。解线性方程组理论上解决得最完备，是大量实际应用问题的最后归属，也是线性代数最主要的任务，线性代数的另一个任务是求特征值和特征向量。请看例：天上9头鸟，地上鸡和狗。共有100只脚，共有100只头。问鸡、狗、鸟各有多少？解：设鸡、狗、鸟为，改成。列出方程：，且，取整数。求得鸡、狗、鸟的二组解：（自己练练求解）或。我们把上述问题一般化，叙述为：实数域上有N个未知数，有M个线性方程，表示为：称此为N元线性方程组的代数形式。提出的问题是，一般N元线性方程组有解的充分必要条件和求解的“程序化”办法？当未知数不是很多的时候，我们可以用熟知的代入法和加减消元法。如：求得的一般结果是：（1）当，有唯一解，，两条直线相交。（2）当，有无穷多组解，两条直线重合。（3）当，无解，两条直线平行。但是，当未知数增加到四个以上，我们无法用代入法和加减消元法来进行讨论，计算太麻烦了！我们必须引入新的数学工具。否则，无法得到一般N元线性方程组解的公式和程序化的解法。我们对方程做加减消元的时候看到，总是要把某方程两边乘上某个数再加（减）到另一个方程上，这其实是对某方程的行（列）做一次整体“动作”，不断反复的做这样的“动作”后，方程组最终会得到简化，并由此可判断出方程组是否有解和解是什么。我们可以把这样的“动作”集中起来加以讨论，暂时脱离求解方程组。这些“动作”无非是对数组行或列做一系列加减乘除变换。为此，我们引入线性代数中重要的基本概念——行列式与矩阵。这是以前我们不熟悉的东西。关键是符号要表达的内涵。第一节行列式什么是行列式？首先我们需要强迫接受它的定义。这个概念开始还无法讲清楚它的含义，我们慢慢就会体会到它的作用。行列式的定义有好几种，直观上，递归的定义比较好理解。1个数，直接规定它为一阶行列式。个数，把它排成2行2列，用记号表示成，规定。再“刻意”的写成：。其中是划去所在位置第一行第一列余下的部分，它等于，可以认为它是一个一阶行列式，另一个类似，称它们为余子式。又，，它们的符号划去所在行和列的位置所决定，称为代数余子式。我们称为二阶行列式。个数，把它排成3行3列，用记号表示成，规定。再“刻意”的写成：。其中是划去所在位置的第一行第一列余下的部分，它等于，可以认为它是一个二阶行列式，另二个，类似，称它们为余子式。又，，它们的符号由划去所在行和列的位置所决定，称为代数余子式。我们称为三阶行列式。如此，可以归纳的定义阶行列式：个数，把它排成行列，用记号表示成，规定。其中是划去所在位置的第一行第一列余下的部分，它是一个阶行列式，其余，，类似，称它们为余子式。又，，，它们的符号由划去所在行和列的位置所决定，称为代数余子式。这里的，，，是取定第一行的余下部分再乘以它所在位置决定它的符号。同理，规定是第行和第列的余子式，可以任意取定某一行或某一列，，，，是第行的代数余子式，，，，是第列的代数余子式。我们称为一个阶行列式。也常用简单的记号或。如此，我们定义了一个阶行列式。它是个阶行列式的代数和，也称此行列式按某行某列的展开。由定义，我们知道：行列式是一个数，是一个由个数所决定的一个数。它是从1阶、2阶一步一步向上规定的，由规定可以知道，把行列式展开后共有项。它的每一项是取自不同行不同列的个数的乘积，且每一项前的符号是有这个数的所在行和列所决定的。这个递归的定义并没有完全告诉我们这个行列式展开后是什么？如果要知道展开后的形式，行列式在教科书上的标准定义：定义：把个数排成n行n列，把它以一个数对应。这个数是所有取自不同行不同列的个数乘积的代数和，其中每一项的符号由这n个数所在位置的逆序数所决定。这里还需要说明逆序数是什么意思。是一个排列，如果且，就称构成一个逆序，所有该排列的逆序就称为它的逆序数，记成。很麻烦，是不是。但它的定义是严格的。注意，这里是一“堆”数求和，哪个先加那个后加没有顺序。正因为如此，这给行列式的计算带来了麻烦。但是，一些特殊的行列式的计算是很方便的。请看例：，这是一个下三角行列式。由定义，我们知道它等于。一般的行列式，它的计算就没有这么简单了。我们希望把任意阶的行列式在不改变它的值的前提下转化成上下三角的形式或低一阶的形式，这需要了解行列式的一些基本性质。我们把这些性质归结如下：将行列式转置，其值不变。转置就是把行列式的行改成列，列改成行。用符号或表示。由性质1可知，对行列式行成立的性质对列也同样成立。例如，上三角行列式是下三角行列式的转置，所以它们的值相等。交换行列式的任意两行，行列式的值变号。（列亦如此。）如果行列式的某行乘上某数，它等于用该数乘上行列式。如果行列式的某两行对应相等或成比例，则该行列式的值等于0.如果行列式某行都是两个数之和，