第三讲平面问题直角坐标解答(一)教程.doc

第三讲 平面问题的直角坐标解答 上节回顾 弹性力学问题基本解法 1. 按位移求解 基本方程：平衡方程和边界条件 2. 按应力求解 基本方程：平衡方程，相容方程、应力边界条件 应力函数法，双调和函数， ，， 找到一个双调和函数(，由该函数得到的应力和位移分量满足边界条件。 平面问题的直角坐标解答 逆解法 先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数，并求出应力分量表达式，然后根据应力边界条件和弹性体的边界形状，考察这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选的应力函数可以解决什么问题。 多项式解答 讨论多项式应力函数 设体力fx = fy = 0，取应力函数为一次式，( = a+bx+cy，满足相容方程，应力分量 ，， 应力边界条件： 得出： 1. 一次式应力函数对应于无面力、无应力状态； 2. 任何应力函数加上一个线性函数，对应力无影响。 取应力函数为二次式，( = ax2+bxy+cy2，满足相容方程 讨论各项所对应的问题，( = ax2，应力分量：(x = 0，(y = 2a，(xy = 0。 由应力边界条件求面力： 上边界，l = 0，m = (1，， 下边界，l = 0，m = 1，， 左边界，l = (1 ，m = 0，， 右边界，l = 1 ，m = 0，， ( = bxy，应力分量：(x = 0，(y = 0，(xy = (b。 上边界，l = 0，m = (1，， 下边界，l = 0，m = 1，， 左边界，l = (1 ，m = 0，， 右边界，l = 1 ，m = 0，， ( = cy2，应力分量：(x = 0，(y = 2c，(xy = 0。 取应力函数为三次式，( = ay3，满足相容方程。应力分量：(x = 6ay，(y = 0，(xy = 0。 应力边界条件： 上边界，l = 0，m = (1，， 下边界，l = 0，m = 1，， 左边界，l = (1 ，m = 0，， 右边界，l = 1 ，m = 0，， 板的上下边无应力，左右边界作用有线性分布的水平面力。 与材料力学解答一致 面力按线性分布时，上述解答是精确的。 梁端面力以其它方式分布时，对细长梁按圣维南原理，远离梁端处误差可忽略。对深梁解答无意义。 取应力函数为三次式，( = axy2，满足相容方程。应力分量：(x = 2ax，(y = 0，(xy = (2ay。 应力边界条件： 左边界：， 右边界：， 上边界：， 下边界：， 板的四边作用有剪应力，右边界作用有均布的水平面力。 取应力函数为四次式，( = axy3，满足相容方程。 应力分量：(x = 6axy，(y = 0，(xy = (3ay2。 应力边界条件： 左边界：， 右边界：， 上边界：， 下边界：， 板的四边作用有均布剪应力，右边界作用有线性分布的水平面力。 更高次多项式 应力函数为四次或四次以上多项式，则系数之间须满足一定的条件。 四次应力函数 代入相容方程： 得到： 因此应力函数的一种形式为 如何求位移分量 考虑平面应力状态下的纯弯梁 平面应力状态的物理方程 ，， 几何方程 ， ， 上式成立的唯一可能是：存在一常数(，使 ， ， 位移分量： ， 常数u0、v0和(分别表示刚体位移和刚体转动。 横截面上任意竖向微线段的转角：，与坐标y无关，横截面变形后保持为平面。 讨论 图示简支梁，位移边界条件 ，， 则：u0 = v0 = 0， 位移分量： ， 挠度方程： 图示悬臂梁，严格意义上，在x = l 处各点都要满足u = v = 0，位移表达 式 ， 无法满足上述要求。 应用圣维南原理进行放松，要求固定端中点不移动，中点的水平微段不转动，位移边界条件表为 ，， 积分常数：，， 位移分量：， 挠度方程（y = 0时的竖向位移）： 例一，讨论应力函数( = Ax3+Bx2所能解决的问题 应力函数满足相容方程 应力分量：，， 应力边界条件： 得出：， 矩形板的左右边无应力，上下边有线性分布的竖向面力，且 ， 如l h，应用圣维南原理进行放松后，相当于在上下边界上作用有集中力F和力偶矩M ， 应用于右图所示情形 ， 应力分量：， 满足相容方程和边界条件。 求位移，考虑平面应力状态