第二十二讲平面向量的数量积及其应用教程.doc

第二十二讲 平面向量的数量积及其应用 ■考试要求 1.平面向量数量积的含义及其物理意义，B级要求； 2.平面向量的数量积与向量投影的关系，A级要求； 3.数量积的坐标表示，数量积的运算，C级要求； 4.用数量积表示两个向量的夹角，判断两向量垂直，B级要求. 课前准备区 回扣教材 夯实基础 ■知识梳理 1．平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量和，它们的夹角为，把数量 叫做和的数量积（或内积），记作，即= ，并规定零向量与任一向量的数量积为 . 的几何意义：数量积等于的长度与 的投影的乘积. 2．平面向量的数量积的性质 设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 （1）= ；（2）= ；（3）当和同向时，= ，当和反向时，= . 特别地：或； （4） ；（5）= 是与的夹角）. 3．平面向量的数量积的运算律 （1）= （交换律）；（2）= = （数乘结合律）； （3）= （分配律）. 4．平面向量数量积的坐标表示 ：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ cos θ＝ ab a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤· a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于________. 2. 已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则a与b的夹角为________． 已知平面向量ab的夹角为a|＝2b|＝1则|a＋b|＝________设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________. 已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)c，则实数k＝________. 已知平面上三点A＝(2－k)，＝(2).若△ABC为直角三角形k的值________. 课堂活动区 突破考点 研析热点 ■考点突破 ◇考点一：平面向量的数量积 【例1】 (1)在等腰梯形ABCD中已知AB∥DC＝2＝1＝60点E和F分别在线段BC和DC上且＝＝则的值为________. (2)已知正方形ABCD的边长为1点E是AB边上的动点则的值为__________； （3）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________． 【例2】 (1)已知非零向量a满足|b|＝a|，且a⊥(2a＋b)则a与b的夹角为________ (2)已知向量与的夹角为120且|＝3|＝2.若＝λ＋且，则实数λ的值为________. ()已知向量a＝(1)，b＝(－2－4)c|＝若(a＋b)·c＝则a与c的夹角为________ ◇考点三：平面向量的模及应用 【例3】 (1)已知ee2是平面单位向量且ee2＝若平面向量b满足b·e＝b·e＝1则|b|＝________. (2) 已知直角梯形ABCD中＝90＝2＝1是腰DC上的动点则|＋3的最小值为________ ◇考点四：平面向量数量积的综合应用 【例4】在平面直角坐标系中，已知向量，，． （1）若，求tan x的值； （2）若与的夹角为，求的值． ■课堂总结 1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 2.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 3.向量的两个作用：(1)载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为熟悉的数学问题；(2)工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 课后练习区 精题精练 规范答题 ■基础练习 1.已知向量ab满足a·b＝0a|＝1b|＝2则|a－b|＝________ 2. 已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________． 在平面直角坐标系xOy中已知四边形ABCD是平 行四边形＝(1－2)＝(2)，则等于_____