第二章射影映射教程.docx

第二章射影映射本章将阐明一维射影变换、射影映射和二维射影变换的几何意义；研究它们各有哪些类型；并对其中比较重要的几种特殊类型进行较深入的讨论。§1透视透视是一个很简单但又最基本的射影映射。一般非透视的射影变换、射影映射可以用透视来表示。定义如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的,则这个对应叫做透视对应,点列与线束叫做透视的,或配景。图2.1记成定义点ξ和ξ’的对应点的连线交于一点s,也就是这两个点列与同一线束s成透视,则这两个点列叫做透视点列,点s叫做透视中心，记作或图2.2对偶定义：图2.1线束s和s’的对应直线的交点在一直线上,也就是这两个线束与同一点列透视,则这两个线束叫做透视线束。直线叫做透视轴。记作或图2.3.图2.3图2.2两个点列射影的,记作；两个线束射影的,记作看图2.2,如果是线束s的四条直线,分别与ξ和ξ’交于a,b,c,d和a’,b’,c’,d’,则有R(a,b；c,d)=R()=R(a’,b’；c’,d’)所以透视对应保持交比不变,又因透视是一一对应,所以透视是射影对应(斯丹纳定义)。显然,透视对应把点映射为自身。定理1 直线ξ到ξ’的透视是射影对应,它把公共点映射为自身。反过来,又有定理2直线ξ到ξ’的一个射影对应,如果把公共点映射为自身,那么这个射影对应是透视。(图2.4)证明：设到的射影对应Ф由三对对应点唯一确定：且令记作。与有三对点相同，是透视。图2.4定理1和定理2的对偶定理请读者自行叙述。由上述定理,得结论：定理3两个射影点列(线束)成透视的充要条件是它们的公共点(直线)自身对应。定理4如果那么定理5 两条不同的直线之间的非透视的射影对应,是两个透视变换的积,证明：设Ф是直线到的射影对应,(图2.5)但不是透视, (其中三对对应点中没有任何一点是),在直线a×a’上任取二点s和s’,作点(s×b)×(s’×b’)～b0,(s×c)×(s’×c’)～c0,再作直线ξ0～b0×c0, ξ0×(a×a’)～a0,于是有图2.5推论：一直线ξ到它自身上的射影变换,可分解为不多于三次透视的乘积。例1 设直线ξ和ξ’上各有三个不相同的点x,y,z和x’,y’,z’,这些点都与ξ×ξ’不同,那么三点：a=(y×z’)×(y’×z),b=(z×x’)×(z’×x),c=(x×y’)×(x’×y)共线(pappus定理)证明如图2.6置=ξ×ξ’, u=(x×z’)×(x’×y) v=(y×z’)×(x’×z),。我们有可是y是点列β(x’,c,u,y)和点列β’(v,a,z’,y)的公共点,而且自身对应,所以图2.6就是说三直线x’×v,c×a,u×z’共点(透视中心),就是x’×z,c×a,x×z’相交于一点(x’×z)×(x×z’)=b所以a,b,c共线例2设a,b,c是三点形的顶点,d,d’；e,e’；f, f’依次是各边b×c,c×a,a×b上两个顶点的调和共轭点,求证：e×f,e’×f’,b×c共点；f×d,f’×d’,c×a共点；d×e,d’×e’,a×b共点。(图(2.7)证明因为R(b,c；d,d’)=R(a,c；e,e’)=-1图2.7所以点列(b,c,d,d’)点列(a,c,e,e’),c是公共点而且自对应,所以(b,c,d,d’)(a,c,e,e’)所以三直线：d×e,d’×e’,a×b共点。其余部分用同样的方法证明。例3 已知简单n点形的顶点a1,a2,…an分别沿着通过不动点s的直线1,2,…,n滑动；而边a1×a2,a2×a3,…an-1×an顺次通过已知点x1,x2,…xn-1,求证：边an×a1必定通过某个不动点。证明简单n点形的顶点ai在直线i上滑动时,就画出了点列，这些点列记作i(ai),i=1,2,…,n。(图2.8所示)。按假设我们有图2.8图2.8又由于上面所说的每一对透视点列的公共点S是自身对应的,因而射影点列a1(a1)和an(an)的公共点s也是自身对应,所以连结这两个透视点列对应点的直线,必定通过一个定点x(透视中心)。例4设三角形ABC的边BC、CA、AB绕同一直线上三点P、Q、R旋转，顶点B、C在两条定直线上。求证：顶点A也在一定直线上。（如图2.9）证明：由图，∴∵其中PR过Q∴PR是自对应元素∴图2.9∴对应直线交点共线，即共线。§2 完全四点形的调和性质本节将讨论完全四点形(四线形)的调和性质。简单四点形：由四个点A,B,C,D(其中无任何三点共线)及它们顺次两两的连线AB,BC,CD,DA所组成的平面图形叫做简单四点形。A,B,C,D叫做顶点,AB,BC,CD,DA叫做边,不顺次的顶点的连线AC,BD叫做对角线。(图2.10)图2.10完全四点形：由四个点a,b,c,d(其中无任何三点共线)及连结其中任何两点的六条直