第六节正弦定理和余弦定理配套资料教师用书教程.doc

第六节　正弦定理和余弦定理 考纲传真 内容 要求 A B C 正弦定理、余弦定理及其应用 √ 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝c2＋a2－2cacos_B， c2＝a2＋b2－2abcos C 变形形式 a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； a∶b∶c＝sin_Asin_B∶sin_C； ＝ cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 已知三边，求各角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Aab a≥b ab 解的 个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)； (2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为ABC内切圆半径)． 1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在ABC中，A∠B必有sin Asin B．(　　) (2)在ABC中的六个量中，若已知三个量，则可求另外三个量．(　　) (3)在ABC中，若b2＋c2a2，则ABC为锐角三角形．(　　) (4)在ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或B＝135°.(　　) [解析]　(1)中，sin Asin Bab?∠A∠B，(1)正确． 在(2)中，已知三个量中至少有一个边，才可求另外三个量，(2)不正确． 在(3)中，A为锐角，ABC不一定是锐角三角形．(3)不正确． 在(4)中，abB∠A，则B＝45°，(4)不正确． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材习题改编)在ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝________. [解析]　由正弦定理，知＝，sin B＝＝＝. ab且A＝60°，B∠A＝60°，cos B0， cos B＝. [答案]　 3．在ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝则ABC的面积为________． [解析]　由cos C＝得sin C＝＝＝. S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4. [答案]　4 4．(2014·广东高考)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________. [解析]　因为bcos C＋ccos B＝2b， 所以b·＋c·＝2b， 化简可得＝2. [答案]　2 5．在ABC中，a＝，b＝，sin B＝，则符合条件的三角形有________个． [解析]　asin Bba，符合条件的三角形有两个． [答案]　2 (见学生用书第68页) 考向1　判定三角形的形状 【典例1】　在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断ABC的形状． [解]　(1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A， bc＝－2bccos A，cos A＝－. 又0＜A＜π，A＝π. (2)由(1)知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C， sin2A＝(sin B＋sin C)2－sin Bsin C. 又sin B＋sin C＝1，且sin A＝， sin Bsin C＝，因此sin B＝sin C＝. 又B、C，故B＝C. 所以ABC是等腰的钝角三角形．【规律方法】　 1．(1)先用正弦定理化边角混合式为边的关系式，再用余弦定理求角． (2)利用正弦定理把(1)中关系式a2＝b2＋c2＋bc化为角的关系式．按角判断三角形形状． 2．(1)判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁． (2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能． 【变式训练1】　已知ABC的内角A，B，C成等差数列且A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中正确的有________(填所有正确命题序号)． B＝； 若a，b，c成等比数列，则ABC为等边三角形； 若a＝2c，则ABC为锐角三角形； 若tan A＋tan C＋0，则ABC