第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入(4课时)教程.doc

[备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3.理解向量的几何表示． 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 1.主要考查平面向量的有关概念及线性运算、共线向量定理的理解和应用，如2012年浙江T7，大纲全国T9等． 2.考查题型为选择题或填空题. [归纳·知识整合] 1．向量的有关概念 名称 定义 向量 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模) 零向量 长度为零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量 [探究]　1.两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的方向一致吗？ 提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量，是同一个概念．显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反． 2．两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？ 提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λ μ) a (λ＋μ)a＝λa＋μ a λ(a＋b)＝λa＋λb [探究]　3.λ＝0与a＝0时，λa的值是否相等？ 提示：相等，且均为0. 4．若|a＋b|＝|a－b|，你能给出以a，b为邻边的平行四边形的形状吗？ 提示：如图，说明平行四边形的两条对角线长度相等，故四边形是矩形． 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. [探究]　5.当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立吗？ 提示：成立． [自测·牛刀小试] 1．下列说法中正确的是(　　) A．只有方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量的长度为零 C．长度相等的两个向量是相等向量 D．共线向量是在一条直线上的向量 解析：选B　由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C错误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故D错误． 2.(教材习题改编)D是ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　) A．－＋　　　　　　B．－－ C．－ D．＋ 解析：选A　如图，由于D是AB的中点，所以＝＋＝＋＝－＋. 3．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为(　　) A．3e2－e1 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：选C　连接a，b的终点，并指向a的终点的向量是a－b. 4．(教材习题改编)点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________. 解析：如图，＝，＝，＝－. 答案：　－ 5．(教材习题改编)化简－＋－的结果为______． 解析：－＋－ ＝(＋)＋(－) ＝＋＝. 答案： 向量的概念 [例1]　给出下列命题： 若|a|＝|b|，则a＝b； 若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若a＝b，b＝c，则a＝c； a＝b的充要条件是|a|＝|b|且ab； 若ab，bc，则ac. 其中正确命题的序号是(　　) A．　　　　　　　　　　　B． C． D． [自主解答]　不正确，长度相等，但方向不同的向量不是相等向量． 正确．＝，||＝||且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且||＝||，因此，＝. 正确．a＝b，a，b的长度相等且方向相同； 又b＝c，b，c的长度相等且方向相同， a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. 不正确．当a＝－b时，也有|a|＝|b|且ab，故|a|＝|b|且ab不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件． 不正确．未考虑b＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是. [答案]　A ——————————————————— 解