第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入教程.doc

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节平面向量的概念及其线性运算 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的 单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则(1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a；　 λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. [小题体验] 1．判断下列四个命题： 若ab，则a＝b；若|a|＝|b|，则a＝b；若|a|＝|b|，则ab；若a＝b，则|a|＝|b|. 其中正确的个数是(　　) A．1 　B．2 C．3 D．4 答案：A 2．(教材习题改编)化简： (1)(＋)＋＋＝________. (2) ＋＋－＝________. 答案：(1) 　(2)0 3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 答案：－ 1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [小题纠偏] 1．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c的关系是________．(填序号) 共线；不共线；以上二者皆可能． 答案： 2．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋ |＝________. 解析：|－＋ |＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 [题组练透] 1．(易错题)给出下列命题： 若|a|＝|b|，则a＝b； 若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若a＝b，b＝c，则a＝c； a＝b的充要条件是|a|＝|b|且ab； 若ab，bc，则ac. 其中正确命题的序号是(　　) A．　　　　　　　　　 　B． C． D． 解析：选A　不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． 正确．＝，||＝||且， 又A，B，C，D是不共线的四点， 四边形ABCD为平行四边形； 反之，若四边形ABCD为平行四边形， 则且||＝||，因此，＝. 正确．a＝b，a，b的长度相等且方向相同， 又b＝c，b，c的长度相等且方向相同， a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. 不正确．当ab且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且ab不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件． 不正确．考虑b＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是. 2．设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；若a与a0平行，则a＝|a|a0；若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　) A．0B．1 C．2 D．3 解析：选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. [谨记通法] 向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度． (2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第1题易混淆有关概念． [题组练透] 1．(2015·全国卷)设D为ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：选A　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋，故选A. 2．已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)． 解析：如图，＝＝－＝b－