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第1章 从实际问题到数学模型 1.1 初识数学模型 1.2 几个历史性问题 1.3 利益博弈 1.4 几项智力游戏 1.5 棋牌中的数学第2章 基础数学模型 2.1 概率模型 2.2 几个简单的高等数学问题 2.3 万有引力定律与三个宇宙速度 2.4 规划模型 2.5 经济数学模型 2.6 生物种群增长的数学模型 序 言 二. 从模型角度看数学 三. 数学的严谨性和实用性 第1章 从实际问题到数学模型 1.1 初识数学模型 1.2 几个历史性问题 1.3 利益博弈 1.4 几项智力游戏 1.5 棋牌中的数学 第2章 基础数学模型 2.1 概率模型 2.2 几个简单的高等数学问题 2.3 万有引力定律与三个宇宙速度 2.4 规划模型 2.5 经济数学模型 2.6 生物种群增长的数学模型 2.1 概率模型 2.2 几个简单的高等数学问题 2.3 万有引力定律与三个宇宙速度 2.4 规划模型 解 设 例2 设某种农作物每亩需要氮32kg、磷24kg、钾42kg．现有甲、乙、丙、丁四种综合肥料的成分含量百分比及每千克的价格列成下表． 解 设甲、乙、丙、丁四种肥料分别为 通过对以上两个实例的研究，对于线性规划模型的构建已经有了初步的了解。一般来说，建立解析形式的数学模型（线性模型或者非线性模型）的大体应该采取以下步骤： 单纯形法研究的是线性规划模型的求解问题 例3 设线性规划模型的目标函数为 解 如果令 例4 求解二元线性模型 例5 某家具厂生产桌椅,用于生产的全部劳动力共计450个工时,原料是400各单位的木材.每张桌子用15个工时,使用20各单位的木材,售价80元.每把椅子用10个工时,使用5各单位的木材,售价45元.问应如何安排生产才能达到最大收益. 引入松驰变量 例6 某厂生产甲、乙、丙三种产品，单件消耗原料A、B、C 及利润见下表.问： (1)应如何安排生产,使工厂获利最大? (2)分析当单位产品利润变动时对最优方案的影响; (3)分析原料现有量改变时对最优方案的影响. 例1 某工厂生产甲、乙两种产品，甲种每公斤可获利1千元，乙种每公斤可获利6千元；生产甲种每公斤需2小时，生产乙种每公斤需小时（为生产乙产品的公斤数）．已知原料充分、每周可用总工时最多为75小时，试确定盈利最大的周生产计划． 例2 某产品由A、B两种原料加工而成（其它原料的成本可以忽略不计）．原料A的价格为每吨1万元，原料B的价格为每吨5千元，该产品的产量可以表示为 与可行解域边界相切于(32,1)点．于是 例2的模型可以改写成 2.5 经济数学模型 (1) 线性函数 以上三种类型的需求函数，是依据不同的供需构造的． 2.6 生物数学模型 第3章 赛题选讲 因为 为36毫米，所以可解得 源在最高点时，设 下限点的 ，　 2L＝287874.7879毫米． ＝272727.2727毫米，点光 为直射区 因为形成图形为对称图形，所以在直射亮区中从最高点到最低点的距离为2L ，即287874.7879毫米．所以中间矩形部分的与线光源平行的那一组边缘线长度为 2L-2R＝15147.751518毫米． 为反射向量。用 n 表示点 P 处的法向量。根据光学折射定律，入射光、反射光及旋转抛物面于反射点处的法线在同一个平面内，且入射角与反射角相等． 3.2.5 车灯反射光区的计算 注意到线光源上点的坐标满足 ， 与 。现在仍考 ，其中 。旋转面的方程为 在旋转抛物面上任取一点 P 。不失一般性，可以记 由于点P在旋转抛物面 上，应有 。于是改记 虑线光源上任一点 设反射光线在测试屏上的投射点为 。显然， 为入 射向量， 由于三向量 , n 在同一平面内，它们的混合积 于是 从而，有 再分别用 和 表示入射与反射方向的单位向量，根据入射角等于反射角可知 由此可得关系式 　．其中 　 这里 如果记 就有 于是,再记 可得关于Y 的方程 　由此解得测试屏上反射投影点的又一坐标表达式 此式与 是测试屏上反射投影点关于参数 表达式。根据以上各式编制计算程序，对于 分别选定一定的步长描点，就可以绘制出线光源反射光区模拟图。 的坐标 值，其中一个必须舍去，经 测试，得知使得 应该注意，由方程组中的第一个方程可以得到两个 的值较大的一个解为增根．