线性代数重要知识点及典型例题答案教程.doc

线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和 （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式、代数余子式 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解： 齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D等于零 特殊行列式： ①转置行列式： ②对称行列式: ③反对称行列式: 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式: 方法：用把化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要） 行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例） 化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、 第二章 矩阵 矩阵的概念：（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘---------分配、结合律 乘法注意什么时候有意义 一般AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置 (反序定理) 方幂： 几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB都是N阶对角阵，k是数，则kA、A+B、 AB都是n阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数（若……） 单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵 阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素 逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的， (非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵) 初等变换1、交换两行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵） 等价标准形矩阵 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A可逆，则满秩 若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B） 初等变换不改变矩阵的秩 求法：1定义2转化为标准式或阶梯形 矩阵与行列式的联系与区别： 都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式 逆矩阵注：①AB=BA