ACM计算几何必看.ppt

2007年ACM协会暑期集训专题(三)计算几何 刁瑞 数学科学学院 需要注意的细节 常用头文件#includemath.h 计算几何中一般来说使用double型比较频繁，请注意数据类型的选择，该用实数的时候就用double，而float容易失去精度。 判断double型的x是否为0，应当用xeps x-eps（或者fabs(x)eps），其中eps代表某个精度，常常取eps=0.000001，还有其他类似情况也要注意double类型的精度问题，int(x+eps)，避免x=4.999999999 需要注意的细节 圆周率取3.141592654或者更精确，或者用acos(-1) 角度制和弧度制的转换，C/C++中的三角函数均为弧度制 尽量少用除法，开方，三角函数，容易失去精度。用除法时注意除数不为0 输出的时候要小心-0.00000，比如 a=-0.0000001，printf(“%.5lf”,a); 向量及其运算 计算几何中经常使用向量，而且基本上都是二维的，下面用αβγ代表三个向量 α=(x[0],y[0]) β=(x[1],y[1]) γ=(x[2],y[2]) 某些题目需要经常使用向量运算，因此对于这类问题最好建立构造类型或者类来表示向量，并将向量之间的运算进行重载 一般需要重载加法，减法，和向量乘法 向量及其运算 struct point{ //构造点的数据类型，也可作向量使用 double x; double y; }v1,v2; point operator+(point p1,point p2); double operator*(point p1,point p2); 向量及其运算 向量有两种乘法，内积（数量积，点积）和外积（向量积，叉积），一般是要根据题目需要选择其中一个重载，多数情况是重载外积，其中 内积α·β= x[0]*x[1] + y[0]*y[1] 外积α×β= x[0]*y[1] – x[1]*y[0]= 向量及其运算 内积的几何意义：α在β的投影α’与β的长度乘积 外积的几何意义：α和β所张成的平行四边形的有向面积 外积在计算几何的题目当中经常使用 外积的应用 判断外积的符号，右手定则 如图，α×β0，β×α0 如果α×β== 0 则等价于两个向量共线（同向或反向），可以用此判断三点共线问题。当然，这里的==0在实际编程的时候要用一个精度来控制 外积的应用 考察右图有向线段P1P2 “向右拐” 得到P2P3有向线段P1P2 “向左拐” 得到P2P4可以利用外积判断“拐向”，这在求凸包时会用到 外积的应用 利用外积求三角形面积 已知三个顶点坐标为(a[0],b[0]),(a[1],b[1]),(a[2],b[2])，则三角形面积为注意别忘记取绝对值，这里利用面积是否为0也可以考察三点共线问题 这个方法求面积比海伦公式或者其他方法要好 外积的应用 由求三角形面积的方法可以推广求凸多边形面积 如图，从一固定点出发，向其他各点引辅助线，这样就分割成了若干个三角形，利用上式求出每个三角形的面积再相加即可。 整点多边形 整点多边形是指顶点的横纵坐标均为整数 由外积导出的面积计算公式可以看出，整点多边形的面积或为整数，或为整数/2. Pick公式：整点多边形的面积=内部整点个数+边上的整点个数/2 - 1. NKOJ 1159: Triangle 计算几何中的公式有不少，需要积累 三角形的一些性质 如何判断点是否在三角形内部？ 此点与三角形三个顶点相连，出现三个三角形，如果这三个三角形的面积之和等于原三角形面积，那么该点在内部 推广：可用来判断点是否在凸多边形内部 思考：如何判断点是否在一般多边形内部？ 三角形的心 外心：外接圆圆心，三条中垂线交点 内心：内接圆圆心，三条角平分线交点 重心：三条中线交点，注意其物理性质 垂心：三条垂线焦点 旁心：一个外交平分线与另外两个内角平分线交点 NKOJ 1257: EXOCENTER OF A TRIANGLE 判断点在直线上 利用三点共线的等价条件α×β== 0 直线上取两不同点P1,P2，若点P在直线上，则fabs((P1 - P) × (P2 - P )) eps 如果该题目需要编写求三角形面积的函数，那直接判断这三个点形成的三角形面积是否eps 判断点在线段上 判断点P(x,y)是否在线段P1P2上，其中P1(x1,y1),P2(x2,y2) 需要验证两条 （1）点P在P1P2所在直线上，即三点共线 （2）点P在P1P2为对角线的矩形内 其中（2）利用min(x1,x2)=x=max(x1,x2) min(y1,y2)=y=max(y1,y2) 判断两线段是否相交 判断P1P2是否和P3P4相交，其中