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微 积 分 章学诚 刘西垣 编著 第四章 微分中值定理和导数的应用 第四章 微分中值定理和导数的应用 小 知 识 4.1 微分中值定理 小 知 识 小 知 识 小 知 识 小 知 识 小 知 识 4.2 洛必达法则 小 知 识 4.3 函数的单调性 4.4 曲线的上 、下凸性和拐点 4.5 函数的极值与最值 4.6 渐近线和函数作图 若设 1-l = q1, l = q2 , 则 0 l 1 等价于 q1 + q2 = 1, 0 q1 , q2 1. (4.6) 和 (4.7) 依次可以写成下列形式： f (q1 x1 + q2 x2) q1 f (x1) + q2 f (x2) (4.6)? 和 f (q1 x1 + q2 x2) q1 f (x1) + q2 f (x2). (4.7)? 从前面曲线上、下凸性的判别法, 立即可以得到函数凹、凸性的下列判别法： 设函数 f (x) 在区间 I 中有二阶导数 f ?(x), 若 f ?(x) 0 (?x∈I ), 则 f (x) 在 I 上是凸的; 若 f ?(x) 0 (? x∈I ), 则 f (x) 在 I 上是凹的. 若 f (x) 在区间 I 上是凸（凹）函数, 则 - f (x) 是 I 上是凹 (凸) 函数, 故通常只讨论函数 f (x) 是否凸函数. 函数的凸性在凸分析和最优化理论中是一个基本的概念, 有重要的应用. 例 4 求函数 的凹凸区间. 解 f ?(x) = 0 时 x =±1, x = 0 时 f ?(x) 不存在. 点 x = -1, 0, 1 将 f (x) 的定义域 (-∞,+∞) 分成 4 个区间： (-∞,-1), (-1,0), (0,1), (1,+∞). 在 (-∞,-1)∪(1,+∞) 上 f ?(x) 0, f (x)是凹的; 在 (-1,0)∪(0,1) 上 f ?(x) 0, f (x) 是凸的. 利用函数的凸性可以证明一些不等式. 例 5 证明函数 f (x) = - ln x 是凸函数, 由此证明不等式 a1-lbl ≤ (1-l)a +lb (a, b 0, 0 l 1). 并证明等式成立的充分必要条件是 a = b. 证 因为 在 (0,+∞) 上 f ?(x) 0, 故 f (x) 是凸函数. 由此, 对 a, b 0, a≠b, 0 l 1, 由凸函数的定义, 即 (4.6), 有 - ln((1-l)a +lb) (1-l)(- ln a) + l (- ln b), 即 ln((1-l)a +lb) (1-l) ln a + l ln b. 当 a = b 时上式两边相等, 故 ?a, b 0, l∈(0,1), 有 ln((1-l)a +lb) ≥ (1-l) ln a + l ln b. 从而(1-l)a +lb≥ e(1-l) ln a +lb = a1-lbl, 且“=”当且仅当 a = b 时成立. f ((1-l) x1 + l x2) (1-l) f (x1) + l f (x2), (4.6) 4.5.1 4.5.2 函数的极值 函数的最值 引发导数概念的另一类重要的实际问题就是寻求函数的极值和最值. 例如: 在一定的发射速度下, 对于怎样的射角, 大炮的射程达到最大? 在 17 世纪初期, 伽利略断定在真空中达到最大射程的射角是 45°, 他还求出了在不同发射角下炮弹所能达到的不同的最大高度. 天文学中研究行星运动也遇到计算函数最大、最小值的问题, 例如行星到太阳的最近距离和最远距离. 4.5.1 函数的极值 定义 给定函数 f (x) (x∈D), 设点 x0∈D, 如果 x0 有一个邻域 U(x0) ? D, 使得 f (x) f (x0) (或 f (x) f (x0)) ( ? x ∈ ),