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* * * * 第7章 气体动理论(3) §7.5 麦克斯韦速率分布律 1、速率分布的概念 前面得到的气体分子的方均根速率 是一个统计速率。对单个分子其速率完全是偶然的，取值可以在0 之间的任一个。 平衡态下，气体分子分布在各个速率区间的分子数占总 分子数的百分率 ,大部分分子分布在哪个速率区间 0 ℃ 时 ，O2 分子速率分布的统计数据 统计数据表明: 速率很大和速率很小的分子数占总分子数的比率 均很小，大多数分子以中等速率运动。 速率区间(m/s) 速率区间(m/s) 以下 以上 2、麦克斯韦速率分布律 设总分子数为 N ?N —— 表示速率在 v ~ v + ?v 区间内的分子数。 ?N 与 v 、 ?v 有关 。 —— 表示速率处在 v ~ v + ?v 区间内的分子数占总 分子数的百分率。 （1）速率分布函数 也与 v 、 ?v 有关。 —— 分子速率在 v 附近单位速率区间内的分子数占总 分子数的比率。 是v 的连续函数。 当 时， 用 表示。 函数 称为速率分布函数, 其物理意义是: 分子速率在 v 附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分律。对单个分子而言就是任一分子速率处在 v 附近单位速率区间的概率(几率)。 f(v) v （2）麦克斯韦速率分布函数 是分子的质量 玻耳兹曼常数 （3）速率分布曲线 以 v 为横坐标， 为纵坐标，画出的 曲线称为速率分布曲线。 f(v) v v2 v1 分布曲线的物理意义： ① 小矩形的面积 表示速率处在 v ~ v + dv 区间内的分子数占总分子数的百分率。 ②曲边梯形的面积 表示速率处在 v1 ~ v2 区间内的分子数占总分子数的百分率。 ③曲线下的总面积 归一化条件 3、三种统计速率 最可几速率 (最概然速率) vp f(v) v vp vp 把整个速率区间分成许多相等的小区间, 则速率大小与 相近的气体分子数占总分子数的比率为最大。 可由求极值条件 求得 分布曲线极大值对应的速率叫最可几速率。 物理意义: 讨论两种情况： （1）m0 一定, 曲线高峰右移, 同时高度下降。 （2）T 一定， f(v) v vp1 vp2 f(v) v 1. 平均速率 大量分子速率的算术平均值叫平均速率　。 若用dN表示速率在v－v+dv 区间内的分子数，v 连续分布时，上式过渡到积分。 2. 方均根速率 速率平方的平均值 方均根速率 f(v) v 三种速率中，　　最大，　次之，　最小 附录: 三种统计速率的计算 速率分布函数中令 则 速率平方的平均值 讨论思考题：试说明下列各式的物理意义 ① ② ③ ④ ⑤ 速率在 的所有分子速率总和被总分子数除 速率在 区间内的分子数 速率在 区间内的分子数占总分子数的比率 并非 之间的分子的平均速率 ⑦ ⑧ ⑥ 速率在 的所有分子速率总和 分子平动动能的平均值 速率在 内的分子的平均速率 f(v) v T1 T2 例1、图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？ 解： (1) T1 T2 (2) 绿：氧 白：氢 例2、处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由电子( “电子气”模型 )。设导体中自由电子数为 N ,电子速率最大值为费米速率 ，且已知电子速率在 v — v + d v 区间的概率为： A 为常数 （1）画出电子气的速率分布曲线 （2）由 定出常数 A （3）求 O v f ( v ) 解： （1） （2） 由归一化条件确定常数A （3） *