典型相关剖析模型.ppt

* * 典型相关分析 典型相关分析是研究两组随机变量 与之间的相关关系， 探讨它们之间相关关系的表达方式与强弱的度量。 在实际问题中，经常遇到要研究一部分变量与另一部分变量之间的相关关系，例如： 在工厂里，考察原料的若干项质量指标与产品的若干项主要质量指标之间的相关性； 在经济学中研究几种主要肉食品的价格与销售量之间的相关性； 在气象学中研究相继两天气象因子间的相关性； 在卫生防疫中研究某些疾病与生活习惯之间的相关性，等等。 典型相关分析方法采用主成分分析的做法，在每一组变量中都适当构造若干个有代表性的综合性指标（变量的线性组合），通过考察这些综合性指标间的相关性来揭示两组原始变量间的相关关系。 设，是两个按某种规则确定的常值向量， 则可看作是第一组随机变量的某项综合性指标， 可看作是第二组随机变量的某项综合性指标，规则是希望通过适当选择向量，使综合性指标与有最大相关系数。 由 可知，若不对向量加以适当限制，使相关系数达到最大的将不唯一。 这是因为，随机变量乘以常数后不改变相互间的相关系数。较为合理的限制是且。 于是构造具有最大相关系数的两个综合性指标与的问题就转化为在约束条件，之下求，使达到最大。 如果维随机向量的协方差矩阵已知 则 （10.14） （10.15） （10.16） 两综合性指标与的构造就转化为求解约束优化问题 （10.17） 经过一系列的理论推导， 可以匹配出对综合性指标和，，根据它们间相关系数的大小，依次称，是，的第一对典型相关变量，它们间具有最强的线性相关性，其相关系数称第一典型相关系数；称，是，的第二对典型相关变量，它们间的线性相关性仅次于第一对典型相关变量，其相关系数称第二典型相关系数；等等。 从数学手段上看，就是先求矩阵 或的非零特征根，再求矩阵和与各特征根相配对的分别满足条件 ，的特征向量。 例：考查吸烟者的年龄体形（指标为：——年龄；——体重；——日吸烟量；——胸围）与基本健康状况（指标为：——脉搏；——收缩压；——舒张压）之间的相关关系。 由于总体的协差阵未知，为了进行样本典型相关分析，随机抽取了容量为15的样本，测得观测值如表10.1所示。 表10.1 年龄 （岁） 体重 （斤） 日吸烟量 （支） 胸围 （厘米） 脉搏 （次/分） 收缩压 (mm Hg) 舒张压 (mm Hg) 25 125 30 83.5 70 130 85 26 131 25 82.9 72 135 80 28 128 35 88.1 75 140 90 29 126 40 88.4 78 140 92 27 126 45 80.6 73 138 85 32 118 20 88.4 70 130 80 31 120 18 87.8 68 135 75 34 124 25 84.6 70 135 75 36 128 25 88.0 75 140 80 38 124 23 85.6 72 145 86 41 135 40 86.3 76 148 88 46 143 45 84.8 80 145 90 47 141 48 87.9 82 148 92 48 139 50 81.6 85 150 95 45 140 55 88.0 88 160 95 算得样本协差阵： X1 X2 X3 X4 Y1 Y2 Y3 X1 66.552 49.719 57.038 2.205 36.729 53.562 29.362 X2 49.719 62.695 77.848 -2.576 40.300 50.610 37.838 X3 57.038 77.848 144.781 -5.595 63.329 75.019 69.633 X4 2.205 -2.576 -5.595 7.000 1.079 2.524 0.260 Y1 36.729 40.300 63.329 1.079 35.257 42.971 34.086 Y2 53.562 50.610 75.019 2.524 42.971 66.638 40.610 Y3 29.362 37.838 69.633 0.260 34.086 40.610 44.410 即 = 求得矩阵的特征根：，，， 相应得典型相关系数