刘建亚主编微积分演示课件.ppt

* 第七节 方向导数与梯度 一.方向导数：--------导数 二.梯度：--------向量 两向量的数量积： 预备知识： 若 则 第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 函数沿 轴方向的变化率； 函数沿 轴方向的变化率。 即 1. 定义 自点 引射线 在 上 若极限 存在， 称此极限值为函数 在点 沿方向 的方向导数， 记作 设 在点 的某一 内有定义 , 邻域 设 轴正向到射线 的转角为 另取一点 定理 如果函数 在点 是可微分的， 那么函数在该点沿任一 方向 的方向导数都存在， 且有 或 证 由于函数 在点 是可微分的， 则 问题：①上面的极限在什么条件下存在？ ②若极限存在，其值等于什么？ 即 或 其中 轴正向到方向 的转角. 为 注： 当 时， 的方向与 轴方向相同， 当 时， 的方向与 轴方向相同， 当 时， 的方向与 轴方向相反， 当 时， 的方向与 轴方向相反， 推广: 则函数在点 在点 可微, 设函数 沿任一方向 的方向导数存在 , 且 其中 为方向 的方向角。 同理: P10 注：求方向导数的两种方法 的方向导数. 解(1): 例1. 求函数 在点 处沿从点 到点 x y O -1 1 2 P Q 所以 解(2): 与向量 方向 同向， 例2. 求函数 在点 处沿从点 到点 的方向导数。 解：法1 与 l 同向的单位向量为: 由于 故, 解：法2 与向量 方向 同向， 例3. 求函数 在椭球面 上点 处沿外法线方向的方向导数。 解： 设 则椭球面在点 处的一个法向量为： 此向量指向椭球面在点 处的外法线方向。 分析：首先要求出外法线的方向。 则 二. 梯度 定义： 称向量 为函数 在点 的梯度。 记作: 即 若对点 在区域D内有一阶连续偏导， 设函数 设 是与 同方向的单位向量， 则 方向导数与梯度的关系： P5 (gradient) 此时 有最大值 结论：（梯度与方向导数的关系） （1）沿梯度方向的方向导数达到最大值； （2）梯度的模为方向导数的最大值，即 （3）当 时， 由 轴到梯度的转角 就是梯度在射线 上的投影， 当方向 与梯度的方向一致时， 有 梯度向量的斜率： 推广: 对于函数 以下讨论与二元函数相同： 什么情况下取得最大值？ 最大值=？ 其中, 为与 同方向的单位向量. 例5. 函数 在点 处沿什么方向的方向导数 最大？并求此方向导数的最大值。 解： 沿梯度方向 的方向导数最大, 最大值为 例4. 设 求 解： 的方向导数。 解（1） 解（2） 例5. 求函数 在点 处沿方向角为 与 同方向的单位向量： 等高线（等值线）与等量面（等值面）： 截线为 平面 截曲面 在xOy面上的投影为一平面曲线L* ， 它在xOy面直角坐标系中的方程为： 由于在曲线L*上的点对应的函数 的值都为c，因此 称为函数 的等高线（或等值线）。 曲线 等高线 上任意一点P(x,y) 处切线的斜率为: 对应的法线的斜率为： 函数 在点P(x,y) 处的梯度为 梯度与等高线的关系： （1）函数 在点P(x,y) 处的梯度与等高线 在点P(x,y) 处的一个法向量方向相同； （2）梯度从数值较低的等高线指向数值较高的等高线； （3）梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，即这个法线 方向就是方向导数取得最大值的方向。 恰好是等高线 上点P(x,y) 处的一个法向量。 曲面 为函数 的等量面（等值面）。 推广： 梯度与等量面的关系： （1）函数 在点P(x,y,z) 处的梯度与等量面 在点P(x,y,z) 处的一个法向量方向相同； （2）梯度从数值较低的等量面指向数值较高的等量面； （3）梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，即