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第6章 常微分方程初值问题数值解法 6.1 问题的描述和基本概念 1、常微分方程初值问题 一般形式 式中已知，称为初值条件. 初值问题的数值方法和数值解 求函数在若干离散点上的近似值的方法称为初值问题的数值方法，而称为初值问题的数值解. 2. 建立数值解法的思想与方法 用离散化方法将初值问题化为差分方程, 然后再求解. 设节点为 距离称为步长. 求数值解一般是从开使逐次顺序求出. 初值问题的解法有单步法和多步法两种： 单步法：计算时只用到一个值； 多步法：计算时要用多个值。 数值解法还有显格式和隐格式之分。 微分方程离散化方法主要有 数值微分法，数值积分法和Taylor展开法 1) 数值微分法 由，用数值微分的2点前差公式代替，得近似离散化方程 记，做，“”，得差分方程 即 （Euler公式） 由初值条件及Euler公式可求出数值解.Euler公式是显式单步法. 2）数值积分法 在上对两边取定积分，得 右端积分用左矩形公式（数值积分公式）得 于是得到求初值问题的Euler方法 右端积分用右矩形公式（数值积分公式）得 于是得到求初值问题的后退Euler方法 后退Euler方法是隐式的. 右端积分用梯形公式（数值积分公式）得近似离散化方程： 于是得到求初值问题的梯形方法 该公式是隐式单步法. 3）Taylor展开法 因为初值问题中函数是已知函数，由，可以计算，，…， 于是有函数在处的Taylor展式 取上式右端前若干项，得近似离散化方程. 例如取前两项有 于是又得到Euler公式：. 3. 数值解法的误差、阶与绝对稳定性 单步法数学描述为 显式： 其中称为增量函数. 显式单步法的一些概念 定义1 称 为单步法在节点的整体截断误差，而称 为在点的局部截断误差。 表示解在的值，是准确值，没有误差； 表示由数值解公式得出的近似值，是数值解，有截断误差. 局部截断误差的理解 假设在计算时没有误差（）下,计算出的（）与的误差(计算一步的误差）. 定义2 如果数值解法的局部截断误差为 则称该方法具有p阶精度或该方法是p阶方法. 方法的阶越高，方法越好. 局部截断误差的主项 如果某方法是p阶方法，按可展为 则称 为局部截断误差的主项. 在同阶方法中，局部截断误差的主项越小，方法越好. 对Euler方法，有 将在点展开，有  故有 Euler方法是一阶方法. 例1 试求梯形方法的阶和局部截断误差主项. 解 该单步公式的局部截断误差是 故局部截断误差主项是，方法是二阶的. 定义3 设某种数值方法在上大小为的扰动，于以后各上产生的偏差均不超过，则称该数值方法是稳定的。 通常用试验方程 （为复数） 来讨论求解数值方法绝对稳定性. Euler方法稳定性 将Euler公式用于试验方程，得到 设计算时有误差则有 得 要想，只须，因此Euler方法在时是绝对稳定的，其绝对稳定域为复平面上以(-1,0)为中心的单位圆盘.绝对稳定区间为 6.2 Runge-Kutta方法 称为级R-K方法.增量函数是 构造过程 以来说明Runge-Kutta方法的构造方法和过程，对一般的Runge-Kutta方法可类似处理. 的Runge-Kutta公式为 式中 ，. 由，可得 在处做Taylor展开，有 对在做二元Taylor展开，有 由 ， 有 选 有局部截断误差，这样可得到二阶Runge-Kutta公式. 取，则式（6.13）的解为 ， 取不同的可得出不同的二阶Runge-Kutta公式.如取时，得到改进的Euler公式 时，得到中点公式 经典Runge-Kutta公式 四阶方法. 例1 设初值问题