曲线积分计算方法.ppt

习题课 一、曲线积分的计算法 解答提示: P244 3(3). 计算 P244 3(6). 计算 2. 基本技巧 例1. 计算 例2. 计算 解法2 思考题解答: 例3. 设在上半平面 练习题: P244 题 3(5) ; P245 题 6; 11. P245 6 . P245 11. 例4. 二、曲面积分的计算法 思 考 题 2. 基本技巧 练习: 例5. 例6. 计算曲面积分 例7. 设 ? 是曲面 例8. 计算曲面积分 作业 备用题 1. 已知平面区域 2. 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为 斯托克斯( Stokes ) 公式 (2) 在 其中盲区面积 时间内监视的地球表面积为 * 目录 上页 下页 返回 结束 一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 线面积分的计算 第十一章 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) (1) 选择积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 练习题: P244 题 3 (1), (3), (6) 计算 其中L为圆周 提示: 利用极坐标 , 原式 = 说明: 若用参数方程计算, 则 P244 3 (1) 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧. 提示: 其中? 由平面 y = z 截球面 提示: 因在 ? 上有 故 原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向. (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 其中? 为曲线 解: 利用轮换对称性 , 有 利用重心公式知 (? 的重心在原点) 其中L 是沿逆 时针方向以原点为中心、 解法1 令 则 这说明积分与路径无关, 故 a 为半径的上半圆周. 它与L所围区域为D, (利用格林公式) 思考: (2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分: (1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分: 则 添加辅助线段 (1) (2) 证:把 内函数 具有 连续偏导数, 且对任意 t 0 都有 证明 对D内任意分段光滑的闭曲线L, 都有 两边对t求导, 得: 则有 因此结论成立. (2006考研) 计算 其中L为上半圆周 提示: 沿逆时针方向. 3(5). 用格林公式: 设在右半平面 x 0 内, 力 构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中 场力所作的功与所取的路径无关. 提示: 令 易证 F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为 求力 沿有向闭曲线 ? 所作的 其中 ? 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 提示: 方法1 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 利用对称性 角形的整个边界, 功, 设三角形区域为? , 方向向上, 则 方法2 利用 公式 斯托克斯公式 设L 是平面 与柱面 的交线 从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 ? 为平面 上 L 所围部分的上侧, D为? 在 xOy 面上的投影. 由斯托克斯公式 公式 D 的形心 1. 基本方法 曲面积分 第一类( 对面积 ) 第二类( 对坐标 ) 转化 二重积分 (1) 选择积分变量 — 代入曲面方程 (2) 积分元素投影 第一类: 始终非负 第二类: 有向投影 (3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面 1) 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例. 2) 设曲面 问下列等式是否成立? 不对 ! 对坐标的积分与 ? 的侧有关 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 (2) 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化 P244 题4(3) 其中? 为半球面 的上侧. 且取下侧 , 原式 = P244 题4(2) , P245 题 10 同样可利用高斯公式计算. 记半球域为 ? , 高斯公式有 计算 提示: 以半球底面 为辅助面, 利用 证明: 设 (常向量) 则 单位外法向向量, 试证 设 ? 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n为? 的 其中, 解: 思考: 本题 ? 改为椭球面 时, 应如何 计算 ? 提示: 在椭球面内作辅助小球面 内侧, 然后用高斯公式 . 解: 取足够小的正数 ? , 作曲面