.谈如何解决求2面角大小的法向量法的不足.docVIP

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2017-06-08 发布于北京
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.谈如何解决求2面角大小的法向量法的不足

.谈如何解决求二面角大小的法向量法的不足写于2005年1月我们易求得一平面的法向量,但不知它的确切方向,怎样确定呢？设点A、B分别是平面内、外的点,是平面的法向量, 当0 则的方向向上。(如图) 当0 则的方向向下。(如图) 在利用平面的法向量求二面角大小时,一个二面角的平面角与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角相等)或互补-)。到底是相等互补或。但是,有时凭感觉推断二面角的平面角的大小程度非常困难,下面是解决上述问题的方法。设A、B分别是平面上的点,且都不在平面交线上, 、、、的法向量,为平面的平面角。 ⑴当0,0,得、、、= ⑵当0,0,得、、、= ⑶当0,0,得、、、=- ⑷当0,0,得、、、=- 综上所述, 当、值的符号相同, 则二面角的平面角为当、的值符号相异, 则二面角的平面角为-。简称“同等异补” 举例, (2004黑龙江高考题)如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M. （Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小. 第二问以C为原点建立坐标系. C (0,0,0),B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1）， A (0,0,1) 则=(-,1,1),=( ，0，0),=( ，1，0),= （0，1，0）设平面BCD的法向量=(x,y,z) ∴ =0 ∴ x=0 令y=1∴=（0，1，-1） =0 -x+y+z=0 同理设平面BD的法向量=(x,y,z) ∴=0 ∴-x+y+z=0 令x=1∴=（1，0，） =0 y=0 ∴ COS,== 在平面B1BD与平面CBD上各取一点(且都不在两平面交线上)C、 ∵=0 =10 、的值符号相同则所求二面角的平面角为=arcos()= A B A B A B A B A B A B B M A D C C X Z Y