2﹒4平面向量坐标.docVIP

§2.4 平面向量的坐标 【教材版本】北师大版 【教材分析】 《标准》明确指出：“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。” 教科书从突出向量的实际背景，从随处可见的物理概念和实例中抽象出“向量”的概念， “向量的加法运算”、“数乘向量”，在这些知识的基础之上安排学习“平面向量的坐标”，正是引入了平面向量的坐标使得向量这一几何问题代数化，使得人们得以用代数的方法来研究这一几何问题。这是一个数形结合的好典范。所以本节内容有着非常重要的作用。 这一节介绍了“平面向量的坐标表示”， 总之，“平面向量的坐标”使得几何问题代数化，使得不便于操作的问题数量化，变得易于判断，易于操作。 【教学目标】 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2.会用坐标表示平面向量的加法、减法以及数乘向量运算； 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件； 4.学习和理解数形结合的数学思想。 【重点难点】 1.平面向量的坐标运算是重点；为突破这一难点，一定要使学生弄清平面向量的坐标表示，认清楚我们是用代数方法来做几何运算，想清楚多项式运算中同类项的合并，通过自己实践来掌握平面向量的坐标运算。 2.难点是理解平面向量坐标化的意义及平面向量线性运算坐标表示的应用，向量平行坐标表示的应用。平面向量坐标化的意义的理解，要让学生对比向量加法的几何运算，代数运算，比较两种方法的不同，通过实际操作来理解。平面向量线性运算坐标表示的应用，向量平行坐标表示的应用只有在较好的理解了平面向量坐标表示，对照多项式运算，通过亲自 操作来理解、掌握。 【学情分析】 学生已经有了实数与数轴上的点的对应以及平面上的点与坐标的对应基础，因此这节课，首先应引导学生认真回忆平面向量的基本定理，由点做中介来认清坐标平面内的所有向量与全体有序实数对之间可以建立一一对应关系，宜采用启发引导式，以旧知识带动新知识的理解与掌握。要认真画好图形，要引导学生把向量的几何表示与向量的代数表示对照，学生积极主动参与，认真实践，师生一起动手动脑，来完成教学任务。 【教学环境】 ◆多媒体教室 ◆课件 【教学设计】 一、平面向量的坐标表示 1.我们已经学过了平面向量的基本定理，回忆一下，那位同学能够叙述一下平面向量的基本定理。 甲同学叙述平面向量基本定理。 甲同学叙述很好（若甲同学叙述的不完善可由乙同学来补充叙述）； 回忆物理中运动的合成与分解，力的合成与分解。 2.向量的正交分解十分重要，应用广泛。 正交即垂直、正交分解就是在相互垂直的两个方向上进行向量分解；在平面向量基本定理中，两个基底的选取有很大的自由度（什么自由？有无条件限制？）； 于是我们可以在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底。 设为坐标平面内的任意向量，我们作，那么由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数使得 ∴ 则把实数对叫做向量的坐标，记作。 这是向量的坐标表示，其中就是点的坐标。 3．我们研究的自由向量常要把其起点移动到原点，故我们把向量作为与它相等的所有向量的一个代表。 坐标平面上的点与有序数对间有什么关系？一一对应（学生回答） 以为起点的向量与其终点是什么关系？一一对应，那么以为起点的向量与平面上的点是一一对应的，所以点或向量都是有序实数对的直观形象。 4. 例 在平面内以点的正东方向为轴方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系，质点在平面内作直线运动，分别求下列位移向量的坐标。 （1）向量表示沿东北方向移动了2个长度单位； （2）向量表示沿西偏北方向移动了3个长度单位； （3）向量表示沿东偏南方向移动了4个长度单位。 分析：求各个向量的坐标，当它们的起点在坐标原点时，即要求其终点的坐标。对吧！ 解：设，，. 并设 （1），， 所以 故： （2）已知，，所以 故： （3）已知，，所以 故： 教师作（1）与（2）并规范板书，可由学生自己作（3）。 二、平面向量线性运算的坐标表示 例1 已知，.那么呢，由学生自己推出； 得 （2.6） 仿上由学生推出 （2.7） 即向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差。 设，那么 即 （2.8） 实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应的坐标的乘积。（由学生自己总结）； 如图，给定点 一个向量的坐标等于其终点的相