2﹒3﹒2双曲线简单几何性质教学设计.docVIP

双曲线的简单几何性质 一、学习目标 知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。 能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系. 二、学习重点、难点 1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质； 2. 教学难点：双曲线的渐近线. 三、学习过程： （一）复习式导入： 在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。那么，你认为应该研究双曲线的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等. 这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课： 我们先来研究一下焦点坐标在x轴上的双曲线的简单几何性质。 1双曲线的简单几何性质 （1）从图形看，的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ 的范围呢？ （）x轴、y轴和原点都是对称的 那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？ 提示：用代替原方程中的，若方程不变，则该曲线……关于x轴对称。 同理，若用代替原方程中的，若方程不变，则该曲线关于y轴对称。若用分别代替原方程中的，若方程不变，则该曲线关于原点对称。 所以，双曲线是关于x轴、y轴和原点都是对称的。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。 （）的顶点有几个？顶点坐标是？ 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把标在图形上。为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的特征矩形。 椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴长。双曲线中也有类似的定义。如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做半实轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的半虚轴长. 我们知道，双曲线定义中a和b的大小关系是不确定的。但是它们之间存在一种特殊的关系：a=b。此时实轴2a和虚轴2b也是相等的。实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方程为 （） 定义：特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线。 双曲线的渐近线方程是即 注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程，可以发现：将双曲线方程中的1改为0后得到新的方程，它的解就是两条渐近线方程。（此处提供了一种求双曲线的渐近线方程的方法，避免记忆公式） 等轴双曲线的渐近线方程是 焦点在y轴上的双曲线的渐近线 即 渐近线的作用：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图。（简述作图过程） （），叫做双曲线的离心率。 椭圆离心率的范围是什么？（）。它对椭圆的形状有何影响？（影响椭圆的扁平程度，e越大椭圆越扁）。 那么，双曲线的离心率的范围是什么呢？ 由等式，可得：，不难发现：e越小（越接近于1），就越接近于0，双曲线开口越小；e越大，就越大，双曲线开口越大。所以，双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。 e对双曲线的形状有何影响呢？得出结论：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大。 （三）例题解析 例1．求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把方程化为标准方程. 由此可知，半实轴长，半虚轴长. 所以，焦点坐标是 离心率，渐近线方程是 注：此问题由学生口答。 练习：求双曲线的渐近线方程 变式：已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线过点，求此双曲线的标准方程 解：设所求双曲线的标准方程可设为，由题意得 解得 所以，所求双曲线的标准方程为 例2 .如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程． 分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程． 例3 .过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于A,B两点求｜AB｜ 解：直线AB： 由 消去y，得 解得 代入直线AB，得 所以， （四）课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 1 双曲线的简单几何性质 2 双曲线与渐近线 （1）双曲线的渐近线方程是即 （2）渐近线是的双曲线方程可设为 （五）作业布置 课本 双曲线的简单几何性质 单 位：登封一中 学 科：数 学 主讲人：张 凤 娟 《双曲线的简单几何性质》教学反思 本节内容是人教A版选修2-1第二章第三节双曲线的第二课时，本节课是在学习了“椭圆的几何性质和双