2﹒4数量积导学案2课时.docVIP

喀什市28中学2013—2014学年第二学期高一级数学导学案 课题：第二章 平面向量 2．4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 时间：2014年3月 日 审核人： 定稿人： 授课时间：第 周 第 节 教学目标： 知识与技能： 利用物理中功的概念了解平面向量数量积的物理背景，理解向量的数量积概念及几何意义；能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；培养学生的应用意识.. 教学重点:平面向量数量积的概念、用数量积表示向量的模及夹角；； 教学难点：数量积的定义及运算律以及应用； 课前准备：导学案、课件、书本、 教学方法： 教学过程： 一、课前准备 复习： 1、向量加法和减法运算的两个法则是 和 . 2、向量数乘运算的定义是 思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量 能否“相乘”呢？ 二、新课导学 探究1：如下图，如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功= ，其中是 . 思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空： F（力）是 量；S（位移）是 量；是 ；W（功）是 量； 结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？ 新知1：向量的数量积（或内积）的定义 已知两个非零向量和，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即.其中是和的夹角（０≤θ≤π） 说明：①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 ② 两个非零向量夹角的概念：非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角（ 特别地：当θ＝０时，与同向；当θ＝π时，与反向；当θ＝时，与垂直，记⊥； ③“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即。 探究2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量；数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。这个数的符号由cos?的符号所决定 学生讨论，完成下表： 的范围 0°≤90° =90° 0°≤180° ·的符号 新知2：向量的数量积（或内积）几何意义 （1）向量投影的概念：如图，我们把叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影. 说明：如图，. 向量投影也是一个数量，不是向量； 当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值； 当当? = 0?时投影为 ||；当?＝９０?时投影为0；当? = 180?时投影为 ?|| 作图： （2）向量的数量积的几何意义：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影︱︱cos 的乘积。 新知3：由定义得到的数量积的性质 设和都是非零向量，是与的夹角，则 ⑴当与垂直时，，即 ； ⑵当与同向时，，= ； 当与反向时，，= ； ⑶当，即= ，或 ； ⑷cos? = ⑸因为，所以 . 新知4：数量积的运算律 已知向量和实数，则 ⑴ ⑵ ⑶ 你能推导向量数量积运算律吗？ （师生共同完成） 三、典型例题 例1 已知，，和的夹角为，？ 变式1：若，求. 变式2：若，求. 变式3：已知，，=-10，求的夹角. 变式4：已知，，=-10，在向量的方向上的投影. 例2. 我们知道，对任意，恒有， 对任意向量，是否也有下面类似的结论？ ⑴； ⑵ 四、总结提升 1. 向量数量积的定义及几何意义； 2. 由定义推出的数量积的性质. 3．数量积的运算律. 学习自我评价 ：你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 五 当堂检测： 1.在平行四边形中，，，，则为（ ） A.4 B.-4 C.8 D.-8 2. 设，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，当时，为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 5. 已知，，且，则向量在向量的方向上的投影为