3维线性代数公式.docVIP

1.向量 1.1 零向量 : v(0,0,0) 1.2 负向量 : -v; 1.3 向量的模 : ||v|| = sqrt(x*x+y*y+z*z); 1.4 向量乘标量 : scalar * vector = (vector.x*scalar,vector.y*scalar,vector.z*scalar); 1.5 向量加法 : v1 + v2 : 得到从v1起点指向v2终点的向量,算法:各分量相加. 1.6 向量减法 : v1 - v2 : 得到从v2指向v1的向量.算法:各分量相减. 1.7 2点的距离公式 : 2点相减得到向量的模. 1.8 点乘 : v1.v2 = ||v1|| * ||v2|| *cos(a) 0 : v1,v2大约同方向. = 0 : v1,v2垂直. 0 : v1,v2大约反方向. 结果表示2向量的相似度.n.l(法线.光线)常用作光强系数. 算法: v1.v2 = v1.x*v2.x+v1.y*v2.y+v1.z*v2.z; 1.9 叉乘 : axb = ||a|| * ||b|| * sin(t). 结果得到与v1,v2彼此垂直的向量.用于求表面的法线. *不满足交换律和结合率. ||axb||:是以ab为2边的并行四边形的面积. 判断叉乘向量的方向: 左手坐标系,axb: 让a的终点连b的起点,左手4手指与ab方向一致,大拇指则是叉乘向量的方向. 右手坐标系用右手. 1.10 向量标准化 : vnorm= v / ||v||; 1.11 计算v在n上的投影: 1 n乘v点乘n除n模方. 2 : v = v平行 + v垂直. 1.12公式,abc为向量,stk为标量. 矩阵 2.1方阵 : 行列数相同的矩阵. 2.2对角矩阵 : 对角线元素不为0,别的元素都是0. 2.3单位矩阵 :I3 2.4转置矩阵: 的转置 = 2.5 标量乘矩阵 : 2.6矩阵乘矩阵 A x B = AB,规则 若A的列数不同于B的行数,则矩阵无法相乘. : A第2行与B第4列的点乘. AB = = 性质: 1任意矩阵M乘以方阵S,不管从哪边乘都将得到与原矩阵相同的矩阵. 2 矩阵乘法不满足交换律,即 3 矩阵乘法满足结合率,即: 4 矩阵标量乘满足结合率,即 5 矩阵积的转置等于先转置再相反顺序乘: 2.7 矩阵用途,可以描述线性变换. 1 2d旋转 2 3d旋转 2.1绕x轴 2.2绕y轴旋转 2.3绕z轴旋转 2.4绕任意轴旋转 3 缩放: 3.1 沿x,y轴的2d缩放矩阵. 3.2 沿x,y,z轴的3d缩放矩阵. 3.3 沿任意轴的2d缩放 3.4 沿任意轴的3d缩放 4 正交(平行)投影 2d投影 4.1 向x轴投影的2d矩阵 4.2 向y轴投影的2d矩阵 4.3 向任意直线投影的2d矩阵 3d投影 4.4 向xy平面投影的3d矩阵 4.5 向xz平面投影的3d矩阵 4.6 向yz平面投影的3d矩阵 4.7 向任意平面投影的3d矩阵 5 镜像 缩放因子为-1的缩放矩阵可以方便的实现镜像. 5.1 沿任意轴镜像的2d矩阵 5.2 沿任意轴镜像的3d矩阵 6 切变(扭曲)矩阵 1 2d切变 6.1 x坐标根据坐标y被切变,参数s控制着切变的方向和量. 6.2 y坐标根据x坐标被切变. 2 3d切变 6.3 xy面,根据z被切变 6.4 xz面,根据y被切变 6.5 yz面根据x被切变 线性变换 如果函数F保持基本运算:加法和数量乘,就可以称该函数是线性的. 满足下式: 仿射变换是线性变换接着平移. 7 方阵M的行列式. 记作或det M. 7.1 2x2矩阵的行列式 7.2 3x3矩阵的行列式 行列式等于以基向量为2边的并行四边形有符号的面积.