3﹒1﹒3空间向量数量积运算.docVIP

3.1.3空间向量的数量积运算 教学目标 重点: 应用空间向量的数量积解决立体几何问题. 难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题. 知识点：空间向量夹角的概念及表示方法,空间向量数量积的运算性质运算律基础上探究数量积性质运算律及与成立的条件，及异面直线夹角与向量夹角的关系学生容易迷惑. 拓展点：通过本节课的学习,让学生感受空间向量数量积在解决立体几何中的作用. 教具准备 多媒体课件和实物投影. 课堂模式 学案导学 引入新课 与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）,记作：，即：,其中是与的夹角, 范围是. 注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量. ，()所以其值的符号由决定,进而由的大小决定;即 ,;,;,. 规定:零向量与任意向量的数量积为0. 2.平面向量的数量积的几何意义: 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积. 3.平面向量的数量积的主要性质: 设与(对于零向量问题结论很直观),则 ①. (思考:若没有与为非零向量这一条件,结论会是什么呢?) ②当与同向时(),则; 当与反向时(),则; 特别地,或(此法对于求向量的模非常实用) ③由于,. ④由,则(对于公式的逆用,很方便于求两向量的夹角). 4.平面向量数量积满足的运算律:已知向量和实数,则: ①; ②;③. 特别说明: ①数量积不满足结合律 ②满足实数的完全平方公式和平方差公式的形式, 思考:平面向量数量在解决平面解析几何中的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题发挥着很重要的作用,而在立体几何中的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题平面向量的数量积显着无能为力,这时候我们发现平面向量的数量积运算已经无法解决三维空间中的长度和夹角问题了,这时我们就需要寻求空间向量的运算来求解空间中的夹角和长度. 【设计意图】、探究新知：,对于两个非零向量,总可以在空间中任取一点,使,,则叫做向量的夹角,记作. 规定: (1),两个向量的夹角是唯一确定的,且. (2)如果,那么称向量垂直,记作. 1.空间向量数量积的定义:已知两个非零向量,,则,叫作的数量积(inner product),记作.即 规定:零向量与任意向量的数量积为0. 思考1:类比平面向量,你能说出的几何意义吗? 2. 空间向量的数量积的几何意义: 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积. 思考2: 类比平面向量,你能说出空间向量数量积有哪些性质吗? 3.空间向量的数量积的主要性质: 设与(对于零向量问题结论很直观),则 ①. (思考:若没有与为非零向量这一条件,结论会是什么呢?) ②当与同向时(),则; 当与反向时(),则; 特别地,或(此法对于求向量的模非常实用) ③由于,. ④由,则(对于公式的逆用,很方便于求两向量的夹角). 思考3: 类比平面向量,你能说出空间向量数量积有哪些性质吗? 4.平面向量数量积满足的运算律:已知向量和实数,则: ①交换律:; ②;③分配律:. 特别说明: ①数量积不满足结合律 ②满足实数的完全平方公式和平方差公式的形式, 【设计意图】三、理解新知： ,则;那么,当时一定成立吗? 分析: 成立，与不一定垂直,有可能其中一个向量是零向量也满足此条件. 3.一定成立吗,若成立则能一定成立吗? 分析:由数量积的定义显然不一定成立;若成立可能=0或. 而 成立,也不一定成立.(这和实数运算不一样,不能直接约分) 4.不一定成立,体现数量积不满足结合律. 5.异面直线夹角的范围是，向量夹角的范围是，即异面直线夹角的余弦值与向量夹角的余弦值的关系为 【设计意图】运用新知 是边长为的正三角形所在平面外一点,且,分别是的中点,设,,. (1)试用表示; (2) 求 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 分析: 要求异面直线与所成角的余弦值, 即求,所以(1) (2)为求解(3)做准备; 同时注意异面直线与所成角的余弦值与的大小关系. 教师板书例题的求解过程: 解：(1)由题意得, ,且三个向量两两夹角均为,所以. 即:. (2) 由(1)知()() . (3)因为. 所以, 异面直线与所成角的余弦值为. 注意:本题中两向量夹角的余弦值为,两异面直线所成角的余弦值应为,这是因为两种夹角的范围不同而导致,这一点学生容易出错教师应重点强调. 【设计意图】的余弦值的解题步骤: 取向量:根据题意在所求的两异面直线上取两个向量为其方向向量. (2)转化角:把异面直线所成角的问题转化成方向向量的夹角问题. (3)求余弦:利用数量积公式求两个方向向量夹角的余弦值. (4)定结果:因为异面直线所成角为锐角或直角,故. 变式训练1:如图,在正三棱柱中,若,求与所成角的大小( )