6﹒4多元函数微分法应用.docVIP

6．4 多元函数微分法的应用 6．4．1 微分在几何上的应用 1．空间曲线的切线和法平面 设空间曲线?的参数方程为：这里假定都在上可导。 在曲线?上取对应于t=t0的一点M0(x0? y0? z0)及对应于t=t0+?t的邻近一点M(x0+?x? y0+?y? z0+?z). 作曲线的割线MM0? 其方程为 ? 当点M沿着?趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线. 考虑 ? 当M?M0? 即?t?0时? 得曲线在点M0处的切线方程为 . 曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量 T=(j?(t0)? y?(t0)? w?(t0)) 就是曲线?在点M0处的一个切向量. 法平面: 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线?在点M0 处的法平面? 其法平面方程为 j?(t0)(x-x0)+y?(t0)(y-y0)+w?(t0)(z-z0)=0. 例1：求曲线的平行于平面的切线方程。 解：曲线上任一点处的切向量，平面的法向量，由题设条件有：，即，故=， 解得。 对应的点有切向量，由于切向量须为非零向量，故无意义舍去； 对应的点有切向量，此时切线方程为 ? 对应的点有切向量，此时切线方程为 ? 讨论：1. 若曲线?的方程为：y=j(x)? z=y(x)，问其切线和法平面方程是什么形式? 提示：曲线方程可看作参数方程: x=x? y=j(x)? z=y(x)? 切向量为T=(1? j?(x)? y?(x)). 2. 若曲线?的方程为：F(x? y? z)=0? G(x? y? z)=0. 问其切线和法平面方程又是什么形式? 提示：两方程确定了两个隐函数: y=j(x)? z=y(x)? 曲线的参数方程为 x=x? y=j(x)? z=y(x)? 由方程组可解得和?? 切向量为. 例2：求曲线在点处的切线及法平面方程。 解：为求切向量? 将所给方程的两边对x求导数? 得 ? 解方程组得? . 在点1? -2? 1)处? ? ? 从而T =(1? 0? -1). 所求切线方程为：? 法平面方程为：(x-1)+0?(y+2)-(z-1)=0? 即x-z=0. 另解：为求切向量? 将所给方程的两边对x求导数? 得 ?? 方程组在点(1? -2? 1)处化为：?? 解方程组得? ? 从而T =(1? 0? -1). 所求切线方程为：? 法平面方程为：(x-1)+0?(y+2)-(z-1)=0? 即x-z=0. 2．曲面的切平面与法线 设曲面?的方程为：F(x? y? z)=0? M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一点? 并设函数F(x? y? z)的偏导数在该点连续且不同时为零. 在曲面?上? 通过点M0任意引一条曲线?? 假定曲线?的参数方程式为 t=t0对应于点M0(x0? y0? z0)? 且j?(t0)? y?(t0)? w?(t0)不全为零. 曲线在点的切向量为 T =(j?(t0)? y?(t0)? w?(t0)). 考虑曲面方程F (x? y? z)=0两端在t=t0的全导数: Fx(x0? y0? z0)j?(t0)+Fy(x0? y0? z0)y?(t0)+Fz(x0? y0? z0)w?(t0)=0. 引入向量 n=(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))? 易见T与n是垂直的. 因为曲线?是曲面?上通过点M0的任意一条曲线? 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直? 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上. 这个平面称为曲面?在点M0的切平面. 这切平面的方程式是 Fx(x0? y0? z0)(x-x0)+Fy(x0? y0? z0)(y-y0)+Fz(x0? y0? z0)(z-z0)=0. 曲面的法线: 通过点M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线方程为 . 曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量