§3﹒2立体几何中向量方法.docVIP

§3.2　立体几何中的向量 (一) ——　垂直关系的向量证法 知识点一　求平面的法向量 已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 【反思感悟】　用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可． 知识点　利用向量方法证明垂直关系 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，AP＝BQ＝b (0b1)，截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′. (1)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直； (2)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值； 解　以D为原点，射线DA、DC、DD′分别为x、y、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，由已知得DF＝1－b，故A(1,0,0)，A′(1,0,1)，D(0,0,0)，D′(0,0,1)，P(1,0，b)，Q(1,1，b)，E(1－b,1,0)，F(1－b,0,0)，G(b,1,1)，H(b,0,1)．  = (0,1,0),  = ( b , 0, b), = (b 1,0,1 b),  = ( 1,0,1), = ( 1,0, 1), 因为· = 0，·= 0， 所以是平面PQEF的法向量. 因为· = 0，· =0，所以是平面PQGH的法向量. 所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直. (2)证明，因为= (0, 1,0),所以∥, | | = ||, 又⊥,所以四边形PQEF为矩形,同理四边形PQGH为矩形. 在所建立的坐标系中可求得|| = (1-b), || = b,所以|| + || =, 又|| = 1,所以截面PQEF和截面PQGH的面积之和为,是定值. 【反思感悟】　证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行． 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C⊥A1B. 求证：AC1⊥A1B. 证明　建立空间直角坐标系C1—xyz， 设AB＝a，CC1＝b. 则A1，B(0，a，b)，B1(0，a,0)，C(0,0，b)，A，C1(0,0,0)．  = =（0， a，b）， ＝. ∵B1C⊥A1B，·＝ －＋b2＝0而·＝a2－a2－b2＝－b2＝0 ∴ ⊥ 即AC1⊥A1B. 课堂小结： 1．用待定系数法求平面法向量的步骤： (1)建立适当的坐标系． (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (3)求出平面内两个不共线向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． (4)根据法向量定义建立方程组. (5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量. 2．平行关系的常用证法 ＝λ.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行． 3．垂直关系的常用证法 要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直． 要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直． 要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 按向量a＝(2,1,1)平移后所得的向量是(　　) A．(－4，－3,0) B．(－4，－3，－1) C．(－2，－1,0) D．(－2，－2,0) 2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是(　　) A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．不能确定 3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为(　　) A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31) 4．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 5．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥αC．lα D．l与α斜交 6．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB的模为1的方向向量是________________． 7．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________． 三、解答题 9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)