§9﹒3平面向量数量积.docVIP

§9．3平面向量的数量积 预备知识 对功的概念的理解 平面向量的概念、运算及运算法则 平面向量的直角坐标及运算 重点 两向量的角概念 平面向量的数量积的定义、性质及运算 平面向量数量积的坐标运算及综合应用 难点 向量数量积与向量的区别 一个向量在另一个向量上的正投影 学习要求 理解两向量角的定义、求法 理解向量数量积的含义，掌握它们的运算及性质 掌握向量数量积的坐标运算以及解决相关问题 功是你所熟悉的一物理量一个物体在力F和位移S是向量，所谓力、位移的大小，实质上是F和S的模：F=|F|,S=|S|，因此(1)更严格的写法应该是 W=|F|?|S|． (2) 注意(1)或(2)其实隐含了一个前提：力的作用方向与物体的位移方向一致(见图9-24(1))．若此前提不成立，如图9-24(2)那样，F与S之间有一个角?=(F^S)，则仅F分解在位移方向的F1才对位移作功．因为|F1|=|F|cos?，据(2) F对位移作功W为 W=|F|?|S|cos?=|F|?|S|cos(F^S)． (3) 向量之间类似于以(3)为结果的运算，在实际中经常遇到，故给予一个名称，叫做向量的数量积． 1. 向量的数量积 (1)平面向量所成的角 给定两个非零平面向量a,b，移它们的始点到同一点，以表示向量的线段所在直线为始终边的角，叫做向量a,b所成的角，记作(a^b)(见图9-25)；为了使两个非零向量所成的角唯一，规定0?(a^b)??．零向量0与任何向量所成的角认为可以任意．为了方便有时也把(a^b)叫做向量之间的夹角． 从向量所成角定义，立即可知 (a^b)=0 ? a//b (即a,b共线)；(a^b)= ? ? a=-b (即a,b互为相反向量)． 特别地，当(a^b)=，则我们说a与b垂直，记作a?b．?b=|a||b|cos(a^b)， (9-3-1) 其中(a^b)表示向量a,b之间所成的角． 据向量数量积定义，前面力F对位移S作功W可以表示为W=F?S． 向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别．这种区别在运算方面的体现，是向量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算．这是因为向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积． 例1 求下列向量的数量积： (1)|a|=5,|b|=4, (a^b)=，求a?b； (2)a=(3,4),|b|=, (a^b)=，求a?b； (3)a=(3,4), b=(-3,-4)，求a?b； (4)a=(1,3)，求a?a； (5)a=0，b=(x,y)，求a?b． 解 (1)a?b=|a||b|cos(a^b)=5?4? cos=-10； (2)因为(a^b)=，cos(a^b)=0，所以a?b=0； (3)|a|=|b|==5；因为b=-a，(a^b)=?，所以a?b=|a||b|cos(a^b)=-25； (4)(a^a)=0，cos(a^a)=1，所以a?a=|a||a|cos(a^a)=|a|2=12+32=10； (5)因为|0|=0，所以不论向量b为何，a?b=|a||b|cos(a^b)=0?|b|cos(a^b)=0． 课内练习1 1. 求下列向量的数量积： (1)|a|=2,|b|=8, (a^b)=，求a?b； (2)a=(1,3),|b|=, (b^a)=，求a?b； (3)a=(-3,-2), b=(3,2)，求a?b； (4)a=(5,3)，求a?a； (5)a=(10,y)，b=0，求a?b． (3)向量数量积的基本运算法则 根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则： ①交换律：a?b=b?a； ②数乘分配率：(?a)?b=a?(?b)=?(a?b)，(任意??R)； ③分配率：(a+b)?c=a?c+b?c． 例2 设=(3,-1), ||=2, ?=(^)=，求 (1)(2)?(3)；(2)(+2)?；(3)(-4)?(+2)． 解 ||==． (1)(2)?(3)=6(?)=6??2?cos=