§5﹒3平面向量数量积.docVIP

§5.3　平面向量的数量积 2014高考会这样考　1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直． 复习备考要这样做　1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题． 1．两个向量的夹角 (1)定义： 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围： 向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉． (3)向量垂直： 如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b. 2．向量在轴上的正射影 已知向量a和轴l，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量． ＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ. 3．向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义： |a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)向量数量积的性质： ①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉； ②a⊥ba·b＝0； ③a·a＝|a|2，|a|＝； ④cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0)； ⑤|a·b|__≤__|a||b|. (3)数量积的运算律： ①交换律：a·b＝b·a. ②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. ③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． (4)数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 ①a·b＝a1b1＋a2b2； ②a⊥ba1b1＋a2b2＝0； ③|a|＝； ④cos 〈a，b〉＝. [难点正本　疑点清源] 1．对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角． (2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，当共线且反向时，其夹角为π. 2．向量的数量积是一个实数 两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围． 3．数量积与实数积的区别 (1)若a、b为实数，且a·b＝0, 则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0. (2)若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c. (3)若a、b、c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a、b、c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的． (4)若a、b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a、b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立． 1．已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________. 答案　－3 解析　a·b＝|a||b|cos 135°＝2×3×＝－3. 2．(2012·聊城模拟)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________． 答案　 解析　由a⊥b知a·b＝0.又3a＋2b与λa－b垂直， ∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2－2b2 ＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝. 3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______． 答案　 解析　设a和b的夹角为θ，|a|cos θ＝|a| ＝＝＝. 4．(2011·辽宁)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于(　　) A．－12 B．－6 C．6 D．12 答案　D 解析　由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b ＝2(4＋1)－(－2＋k)＝0，∴k＝12. 5．(2012·陕西)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于(　　) A. B. C．0 D．－1 答案　C 解析　a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)． ∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0， ∴cos2θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0. 题型一　平面向量的数量积的运算 例1　(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 (2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,