讲座20151126朱.docx

初中数学中的不等关系 第一部分：《新课标》（2011年版）有关不等关系的表述（第三学段7-9年级） 二、课程目标 学段目标： 知识技能 1．体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。（P13） 数学思考 1．通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。（P14） 三、课程内容 数与代数 （一）数与式 1．有理数 （1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。（P27） 2．实数 （4）能用有理数估计一个无理数的大致范围（参见例47）。（P27） 例47 估计与0.5比哪个大？与1.0比呢？(P101) （二）方程与不等式 2．不等式与不等式组（P29） （1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质（参见例53）。 (P1041-105)例53小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元，橡皮每块0.4元。小丽带了2元钱，能买几支铅笔、几块橡皮？ [说明] 对于初中的学生，这个问题是生活常识，但希望学生能通过这个例子学会用数学的思维方式看待生活中的问题。 这是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有助于学生直观理解不等式。 假设买a支铅笔，b块橡皮，可以得到不等式 0.5a + 0.4b2。 当a = 1时，计算得到b = 3.75，则 b = 3。这样计算，可以建立下面的表格： a 0 1 2 3 4 b 5 3 2 1 0 金额 2 1.7 1.8 1.9 0 根据上面的表格，小丽可以选择适当的购买方案。 （2）能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。 （3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。 （三）函数 1．函数 （4）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。P30 2．一次函数 （3）根据一次函数的图像和表达式 y = kx + b (k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。P30 3．反比例函数 （2）能根据图像和表达式 y =(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。P30 4．二次函数 （2）通过图像了解二次函数的性质。（开口方向、增减性）P31 图形与几何 （一）图形的性质 1．点、线、面、角 （2）会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。P31 （4）掌握基本事实：两点之间线段最短。P31 （6）理解角的概念，能比较角的大小。P31 2．相交线与平行线 （2）理解垂线、垂线段等概念。（垂线段最短）P32 3．三角形 （1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。（三角形外角大于与它不相邻的内角）P32 （2）探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。P33 5．圆 （1）探索并了解点与圆的位置关系。P35 （5）了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。 P35 例80 利用几何图形研究代数问题。 对于给定的两个数x和y，求使得 (x-b)2+ (y-b)2 达到最小的b，也就是说要找到一个b0，使得对任意的b有 (x-b0)2 + (y-b0)2 (x-b)2 + (y-b)2。 [说明] 利用直角坐标系，不仅能够推导出几何图形的代数表达式，还能够利用几何图形来研究代数问题，这是帮助学生建立几何直观的有效途径。 图27 可以把给定的两个数看作数对，对应于二维平面的点（见图27），用A(x，y)表示。对于任意数b也可以看作数对(b，b)，用点B(b，b)表示。 回忆关于直线的学习，由图27可以看到，点B(b，b)是在通过第一象限、与横坐标倾斜45°角的直线上。我们的问题用几何语言可以表述为：在这条直线上寻找一点，使得这一点到给定点A(x，y)的距离最短。显然，这一点应当是点A(x，y)到直线的垂足，设其为B′(b0，b0)。因为 (x-b)2+ (y-b)2 = (x-b0+b0-b)2+ (y-b0+b0-b)2 = [(x-b0)2+ (