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逆解法与半逆解法小结 1、逆解法：在求解弹性力学的一般问题中，假设基本未知函数(按位移求解中的位移分量，按应力求解中的应力分量)为已知函数，若在物体内部它们满足平衡方程，在物体的表面上满足给定的边界条件，则所假设的基本未知函数就是该问题的解。当用应力函数表示应力分量时，先假设一个应力函数，使它满足协调方程，然后求出应力分量，并根据边界条件确定物体表面受力状况，从而可知所假设 的应力函数可以解决什么样的问题。这种求解弹性力学问题的方法叫做逆解法。（多项式解法） 2、半逆解法：若假设基本未知函数中的一部分为已知，根据基本方程求出其余部分的未知函数，并使所有应力和位移分量满足给定的边界条件，则所设的来知函数和求得的未知函数就是该问题的解。当用应力函数求解问题时，根据边界形状及受力情况，先假设一部分应力分量，由此求出应力函数，使应力函数满足协调方程，由应力函数求出其余应力分量，并使所有应力分量满足静力边界条件，则所设的和求得的应力分量就是该问题的解。这种求解弹性力学问题的方法做半逆解法。 是一个应力函数，并指出它在图中所示矩形板和作标系中能解决什么问题。（设矩形板长为 ，高为 ,体力不计) 试证函数 解 因为双协调方程为 其中 显然满足，故可作为应力函数。 应力分量为 在板的上边界处： 在板的下边界处： 在板的左端边界处： 在板的右端边界处： 由以上各式经过分析它能解决悬臂梁在上边界受均布载荷 的问题，如图所示 矩形截面梁右端固定，左端受力偶M作用，且在O点受铰支承。求梁内应力分量。 采用半逆解法，可设 满足双调和方程后得 ， 上下边界： 得： 左边界 弹性力学基本方程 1. 平衡微分方程 2. 几何方程 变形协调方程 位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。 本构方程——广义胡克定律 应力表示 应变表示 基本方程：平衡微分方程；几何方程和本构方程以及变形协调方程。 边界条件 若物体表面的面力分量为fsx、fsy和fsz已知 则面力边界条件为： 若物体表面的位移 已知，则位移边界条件为 若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件 但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。 x y 1 l l M M 说明： (1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。 (2) 若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差； (3) 当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程 2 代入： 得 可见，对于函数： 其待定系数，须满足下述关系才能作为应力函数： 四、四次多项式 1 3 应力分量： —— 应力分量为 x、y 的二次函数。 4 特例： （须满足：a + e =0） 总结： （多项式应力函数 的性质） （1） 多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 。 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。 （3） （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。 按应力求解平面问题，其基本未知量为： ，本节说明如何由 求出形变分量、位移分量？ 问题： 以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？ 例： 图示矩形板，长为 l ，高为 h ，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中k为常数。 x y O l h 解： (1) 应力分量： 边界条件： 显然，上下边界无面力作用。 上下边界 (2) x y O l h 左边界 k 右边界 k kl 结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。 §6-7 简支梁受均布载荷 要点 —— 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 一、应力函数的确定 1 分析： —— 主要由弯矩引起； —— 主要由剪力引起； ——由 q 引