2016高考数学大一轮复习91直线的方程教师用书理苏教版.doc

§9.1　直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)． 2．斜率公式 (1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0， (A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 4.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　√　) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　×　) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　×　) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　×　) (6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　×　) (7)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．(　×　) (8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　√　) 1．直线x－y＋a＝0的倾斜角为________． 答案　60° 解析　化直线方程为y＝x＋a，∴k＝tan α＝. ∵0°≤α180°，∴α＝60°. 2．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝______. 答案　－3 解析　∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC. ∴＝，∴x＝－3. 3．若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为____________． 答案　∪ 解析　直线l的斜率k＝＝1－m2≤1. 若l的倾斜角为α，则tan α≤1. 又∵α∈[0，π)，∴α∈∪. 4．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________________． 答案　x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0 解析　①若直线过原点，则k＝－， ∴y＝－x，即4x＋3y＝0. ②若直线不过原点．设＋＝1，即x＋y＝a. ∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0. 题型一　直线的倾斜角与斜率 例1　经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连结A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________. 思维点拨　注意倾斜角是锐角还是钝角． 答案　[－1,1]　[0，]∪[，π) 解析　如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB0，kPA0，故k0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k0时，α为锐角． 又kPA＝＝－1， kPB＝＝1，∴－1≤k≤1. 又当0≤k≤1时，0≤α≤； 当－1≤k0时，≤απ. 故倾斜角α的取值范围为α∈[0，]∪[，π)． 思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)． 　(1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________． (2)直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是____________________． 答案　(1)－　(2)∪ 解析　(1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)， 则有，解得a＝－5，b＝－3， 从而可知直线l的斜率为＝－. (2)由xcos α＋y＋2＝0得直线斜率k＝－cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－≤k≤. 设直线的倾斜角为θ，则－≤tan θ≤. 结合正切函数在∪上的图象可知， 0≤θ≤或≤θπ. 题型二　求直线的方程 例2　根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5