2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何98圆锥曲线的综合问题课时3定点定值探索性问题文.doc

课时3　定点、定值、探索性问题 题型一　定点问题 例1　已知椭圆＋＝1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点. 解　(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2， 又a2＝b2＋c2，所以a2＝3. 所以椭圆的方程为＋y2＝1. (2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 设l方程为x＝t(y－m)， 由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)， ∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1. 同理由＝λ2知λ2＝－1. ∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，① 联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0， ∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)0，② 且有y1＋y2＝，y1y2＝，③ ③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0， ∴(mt)2＝1， 由题意mt0，∴mt＝－1，满足②， 得l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点. 思维升华　圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 　(2015·四川)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2. (1)求椭圆E的方程； (2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解　(1)由已知，点(，1)在椭圆E上， 因此 解得a＝2，b＝， 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点， 如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1， 即QC＝QD， 所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0). 当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，)，(0，－)， 由＝，有＝，解得y0＝1或y0＝2， 所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件， 则Q点坐标只可能为(0,2)， 下面证明：对任意直线l，均有＝， 当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立， 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0， 其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0， 所以x1＋x2＝－， x1x2＝－， 因此＋＝＝2k， 易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)， 又kQA＝＝＝k－， kQB′＝＝＝－k＋＝k－， 所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线， 所以＝＝＝， 故存在与P不同的定点Q(0,2)，使得＝恒成立. 题型二　定值问题 例2　已知椭圆C：＋＝1 (ab0)的离心率是，其左，右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为2. (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：x＝2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，求证：DE·DF为定值. (1)解　由已知，可得 解得a＝2，b＝. 故所求椭圆方程为＋＝1. (2)证明　由题意可得A1(－2,0)，A2(2,0). 设P(x0，y0)，由题意可得－2x02， ∴直线A1P的方程为y＝(x＋2)，令x＝2得y＝，即DE＝，同理，直线A2P的方程为y＝(x－2)，令x＝2， 得y＝，即DF＝， 所以DE·DF＝· ＝＝， 将y＝代入上式，得DE·DF＝3， 故DE·DF为定值3. 思维升华　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 　如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l. (1)求动点Q的轨迹C的方程； (2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长TS