【备战2012中考】数学压轴题大集合.doc

一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) 求证：E点在y轴上； 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程. 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC ∴ 又∵DO′+BO′=DB ∴ ∵AB=6，DC=3，∴EO′=2 又∵，∴ ∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上 方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2① 再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 ② 联立①②得 ∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上 （2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3） E（0，-2）三点，得方程组 解得a=-1,b=0,c=-2 ∴抛物线方程y=-x2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。 同（1）可得： 得：E′F=2 方法一：又∵E′F∥AB，∴ S△AE′C= S△ADC- S△E′DC= ==DB=3+k S=3+k为所求函数解析式 方法二：∵ BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA ∴S△AE′C= S△BDE′ ∴S=3+k为所求函数解析式. 证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2 同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4 ∴ ∴S=3+k为所求函数解析式. 2. 已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点. 求点A的坐标； 设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明； 连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若，抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式. 解：由已知AM＝，OM＝1， 在Rt△AOM中，AO＝， ∴点A的坐标为A（0，1） 证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1　　∴y＝x＋1 令y＝0则x＝－1　　　　∴B（—1，0）， AB＝ 在△ABM中，AB＝，AM＝，BM＝2 ∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90° ∴直线AB是⊙M的切线解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2， ∴BC＝ ∵∠BAC＝90°　∴△ABC的外接圆的直径为BC， ∴ 而　 　， 设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为： y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5 ∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法二：（接上） 求得∴h＝5 由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5） ∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5 又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±5 ∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法三：（接上）求得∴h＝5因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 由已知得 ∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5. 3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线过点A、B，且顶点C在⊙P上. (1)求⊙P上劣弧的长； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M. 　在Rt△PMB中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120° 的长＝ （2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝. 又OM=1，∴A（1－，0），B（1＋，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上， 则C(1，－3). 点A、B、C在抛物线上，则 　　解之得 抛物线解析式为 （3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD. 又PC∥y轴，∴点D在