一轮复习配套讲义第6篇第2讲一元二次不等式及其解法.doc

第2讲　一元二次不等式及其解法 [必威体育精装版考纲] 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． 2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 知 识 梳 理1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)计算相应的判别式． (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ? 辨 析 感 悟 1．对一元二次不等式的解法的理解 (1)(2013·广东卷改编)不等式x2＋x－2＜0的解集为－2＜x＜1.(×) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(√) (3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(×) 2．对一元二次不等式恒成立问题的认识 (5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(×) (6)若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则a≤－.(√) (7)若不等式x2＋ax＋1≥0对x恒成立，则a的最小值为－.(√) [感悟·提升] 三个防范　一是当Δ＜0时，不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别，如(4)中当a＞0时，解集为R；当a＜0时，解集为. 二是对于不等式ax2＋bx＋c＞0求解时不要忘记讨论a＝0时的情形，如(5)中当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0在R上也是恒成立的． 三是解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论分类要不重不漏. 考点一　一元二次不等式的解法【例1】 (2014·大连模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是(　　)． A. B. C.∪ D. 解析　由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1,3)，a＜0.且解得a＝－1或， a＝－1，b＝－3.f(x)＝－x2＋2x＋3， f(－2x)＝－4x2－4x＋3， 由－4x2－4x＋3＜0，得4x2＋4x－3＞0， 解得x＞或x＜－，故选A. 答案　A 规律方法 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集. 学生用书第97页 【训练1】 (2013·江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________． 解析　f(x)是定义在R上的奇函数， f(0)＝0， 又当x＜0时，－x＞0， f(－x)＝x2＋4x. 又f(x)为奇函数， f(－x)＝－f(x)， f(x)＝－x2－4x(x＜0)， f(x)＝ (1)当x＞0时，由f(x)＞x得x2－4x＞x，解得x＞5； (2)当x＝0时，f(x)＞x无解； (3)当x＜0时，由f(x)＞x得－x2－4x＞x，解得－5＜x＜0. 综上得不等式f(x)＞x的解集用区间表示为(－5,0)(5，＋∞)． 答案　(－5,0)(5，＋∞) 考点二　含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 (2013·烟台期末)解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(aR)． 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. 当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. 当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. 当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意； 当＜－1，即a＞－2，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为；当－2＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝