专题22二次函数及其应用(教学卷)Word版含解析.doc

【高效整合篇】 一．考场传真 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】由得， 所以， 即 ,所以恰有4个零点等价于方程 有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知. 2.【2015高考北京，理14】设函数 ①若，则的最小值为 ； ②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ． 或 ②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或 3.【2015高考浙江，理18】已知函数，记是在区间上的最大值. 证明：当时，； （2）当，满足，求的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）. 试题分析：（1）分析题意可知在上单调，从而可知 ，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ，再由可得， ，即可得证. 试题解析：（1）由，得对称轴为直线，由，得 ，故在上单调，∴，当时，由 ，得，即，当时，由 ，得，即，综上，当时， ；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为. 二．高考研究 1.考纲要求 2.命题规律 1．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路． 2．含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等． 3．关于二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法： (1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图像的对称轴方程为：x＝. (2)对于一般函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图像的对称轴方程为：x＝a(a为常数)． (3)对于一般函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x＋2a)＝f(－x)，那么函数y＝f(x)图像的对称轴方程为：x＝a(a为常数)． 注意：(2)，(3)中，f(a＋x)＝f(a－x)与f(x＋2a)＝f(－x)是等价的． (4)利用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)对称轴方程为x＝－； (5)利用方程根法求对称轴方程．若二次函数y＝f(x)对应方程为f(x)＝0两根为x1、x2，那么函数y＝f(x)图像的对称轴方程为：x＝. 4．对于函数y＝ax2＋bx＋c要认为它是二次函数，就必须认定a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况． 5．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)给定了定义域为一个区间[k1，k2]时，利用配方法求函数的最值是极其危险的，一般要讨论函数图像的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况： ①－k1；②k1≤－；③≤－k2；④－≥k2；对于这种情况，也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值．这两种方法运算量相当． 【例1】，函数的值非负，则实数的最小值为（ ） A、 B、-5 C、-3 D、-2 分析：分类讨论将绝对值号去掉，利用二次函数的性质即可求解. 解析：由四个选项可知，所以原函数式去掉绝对值转化为 ，结合二次函数单调性可知当时函数递减，当时递减，当时递增，当时递增，所以函数的最小值为，所以的最小值为2，故选D. 【举一反三】对一切实数，二次函数的值均为非负实数，则的最小值是 ． 【例2】设函数． （1）当时，记函数在[0，4]上的最大值为，求的最小值； （2）存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值． 解析：（1）当，,对称轴为． 所以的最大值． 所以的最小值为． （2）显然．．当时，只需满足由及，得，与矛盾．当时，只需满足由，得，，与矛盾．当时，只需满足由，得．由，得，又，，即，再结合得，．当时，由得，此时满足，，及． 综上所述，的最大值为，此时． 【举一反三】满足条件： ①当时，，且；②当时，； ③在R上的最小值为0 （1）求的解析式； （2）求最大的m(m1)，使得存在，只要，就有. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由知，对称轴为，由③知开口向上，即， 故设，由①知；由②知，故，代入得，，所以；（2）由题意，在区间上函数的图像在直线的下方，且最大，故1和是关于的方程 ……①的两个根，令x=1代入①，得t=0或t=-4，当t=0时，方程①的解为（这与m1矛盾）.当t=-4时，方程①的解为，所以m=9. 又当t=-4时，对任意，恒有，即，所以的最大值为9. 考点2