初中数学最值题解法小结.doc

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初中数学最值题解法小结

初中数学最值题解法小结 在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要为以下几种: 一. 二次函数的最值公式 二次函数(a、b、c为常数且)其性质中有 ①若当时,y有最小值。; ②若当时,y有最大值。。 利用二次函数的这个性质,将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数,再利用二次函数性质进行计算,从而达到解决实际问题之目的 例1. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R、P与x的关系式分别为,。 (1)当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少? 解:(1)根据题意得 整理得 解得,(不合题意,舍去) (2)由题意知,利润为 所以当时,最大利润为1950元。 二. 一次函数的增减性 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因而没有最大(小)值;但当时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大(小)值。 例2. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少? 解:设招聘甲种工种的工人为x人,则乙种工种的工人为人, 由题意得: 所以 设所招聘的工人共需付月工资y元,则有: () 因为y随x的增大而减小 所以当时,(元) 三. 判别式法 例3. 求的最大值与最小值。 分析:此题要求出最大值与最小值,直接求则较困难,若根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程;再根据x是实数,推得,进而求出y的取值范围,并由此得出y的最值。 解:设,整理得 即 因为x是实数,所以 即 解得 所以的最大值是3,最小值是。 四. 构造函数法 “最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。 例4. 求代数式的最大值和最小值。 解:设,,再令,,则有 所以得y的最大值为,最小值为 五. 利用非负数的性质 在实数范围内,显然有,当且仅当时,等号成立,即的最小值为k。 例5. 设a、b为实数,那么的最小值为_______。 解: 当,,即时, 上式等号成立。故所求的最小值为-1。 六. 零点区间讨论法 例6. 求函数的最大值。 分析:本题先用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号,然后求出y在各个区间上的最大值,再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。 解:易知该函数有两个零点、 当时 当时 当得 当时, 综上所述,当时,y有最大值为 七. 利用不等式与判别式求解 在不等式中,是最大值,在不等式中,是最小值。 例7. 已知x、y为实数,且满足,,求实数m最大值与最小值。 解:由题意得 所以x、y是关于t的方程的两实数根,所以 即 解得 m的最大值是,m的最小值是-1。 八. “夹逼法”求最值 在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内,再通过解不等式获取问题的答案,这一方法称为“夹逼法”。 例8. 不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数,那么此高的最大值可能为________。 解:设a、b、c三边上高分别为4、12、h 因为,所以 又因为,代入 得,所以 又因为,代入 得,所以 所以3h6,故整数h的最大值为5。 ●求最值问题 最值型应用问题经常出现在近几年的中考试卷中。这类问题贴近生活、贴近社会,有利于体现数学的人文价值和社会价值,有利于考查学生的分析、猜想、建模和综合应用等各方面的能力。本文举几例求最值的问题。 利用一次函数的性质来求最值问题 对于一般的一次函数,由于自变量的取值范围可以是全体实数,因此不存在最大最小值(简称“最值”),但在实际问题中,因题目中的自变量受到实际问题的限制,所以就有可能出现最大或最小值。求解这类问题除正确确定函数表达式外,利用自变量取值范围可以确定最大值或最小值。 例1、(2008年泉州市初中学业质量检查)红星服装厂准备生产一批A、B两种

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