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恒高一对一普陀初高中补习班椭圆与直线
恒高教育 高中数学
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教师辅导讲义
授课
类型C(椭圆定义及性质)T(直线与椭圆)教学内容一、知识回顾
1. 问题:
(1) 椭圆的中心是什么?椭圆的长轴短轴是什么?长半轴短半轴又是什么?
(2)通过椭圆的图像,分析一下椭圆的对称性。
(3)椭圆方程中x、y的取值范围是什么?
2.椭圆的图形与性质
标准方程焦点在轴上焦点在轴上·
F1
x
O
y
F2
·
图形
x
O
y
F1
F2
·
·
O
焦点
焦距
范围
顶点
对称性
关于轴与轴成轴对称,关于原点成中心对称
两轴
长轴长为,短轴长为
3. 点与椭圆的位置关系:设点,椭圆方程为,则:
(其中为椭圆焦点).
4. 直线与椭圆的位置关系.
直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离,判断直线与椭圆的位置关系,可以利用直线方程与椭圆方程联立,看联立后方程解的个数:
(1),无解则相离;
(2),一解则相切;
(3),两解则相交。直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题,直线与椭圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦。
利用直线与椭圆相交的弦长公式:.
二、典例分析
题型一、求椭圆方程
Ⅰ、根据定义求解
【例1】已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为,求椭圆的标准方程。
【例2】根据下列条件求椭圆的标准方程(中心在原点,焦点在坐标轴上):
(1)过一个焦点的弦与另一焦点所构成的△的周长为;
(2)长轴长是短轴长的倍,并且经过点;
(3)焦点、在轴上,为椭圆上一点,且;
(4)经过点,.
【变式训练】
1、已知椭圆的两焦点为F1(0,1),F2(0,-1),P是椭圆上任一点,是与的等差中项,则椭圆的方程为_______________。翰林汇
2、已知△的周长为,且,求点的轨迹方程.
3、△中,,且,求点的轨迹方程.
【例3】已知动圆与定圆:外切,与圆:内切,求动圆圆心所在的曲线方程.
【变式训练】
求经过点,且与圆内切的动圆圆心的轨迹方程.
Ⅱ、根据椭圆性质求解方程
【例1】已知椭圆的长轴长为,焦点在轴上,短轴长与焦距相等,则椭圆的标准方程为__________________.
【变式训练】
1、已知椭圆以椭圆的顶点为焦点,焦点为顶点,求椭圆的方程.
2、长、短轴都在坐标轴上,直线2x-y=6经过两顶点的椭圆方程是___________________。翰林汇
3、椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点与两焦点构成等边三角形,且焦点到椭圆的最短距离为,求椭圆的方程.
题型二、根据椭圆定义求参数(范围):
【例1】方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是_______________.
【变式训练】
1、方程+=1表示长轴在y轴上的椭圆,则k的取值范围是________。翰林汇
2、已知椭圆的长轴在轴上,焦距为,则等于( )
A. B. C. D.
【例2】椭圆的一个焦点是,则___________.
【变式训练】椭圆上的点到左焦点的最大距离是____________,最小距离是__________.
题型三、焦点弦
【例1】
1)设点A(-2,)、B(2,0),点M在椭圆上运动,当|MA|+|MB|最大时,点M的坐标为_ _。翰林汇
2)为椭圆上任一点,、为其两焦点,则的最大值是( )
A. B. C. D.
【例2】设椭圆的两个焦点分别为F1和F2,短轴的一个端点为B,则△BF1F2的周长是____。翰林汇
【变式训练】
1、已知椭圆,、分别为左、右焦点,为过的弦,且与轴的夹角为,则△的周长为_______________.
【例3】已知椭圆,为椭圆上任一点,,求的面积。
【变式训练】
1、已知椭圆()上一点满足(、于椭圆的两个焦点),求△的面积.
2、已知椭圆与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B,左焦点为F,则△ABF的面积是___翰林汇
3、点P是椭圆=1上一点,F1、F2是焦点,F1PF2=600,则ΔPF1F2的面积是__翰林汇__。翰林汇
4、M是椭圆上的一点,F1、F2是椭圆的焦点,且∠F1MF2=90°,则△F1MF2的面积等于_____________.
5、已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为( )
A. B.3 C. D.
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