数列的概念与简单表示(教学设计).doc

数列的概念与简单表示法 教学目标： 了解数列的概念，分类； 能根据条件数列的通项公式，类型包含数列的前几项的归纳出数列的通项公式，由前n项和求通项公式，由数列的递推公式求通项公式。 教学方法： 以学生为主体，教师点评指导，讲练结合，启发引导，自主合作探究。 教学工具： 投影仪，多媒体，黑板。 教学过程： 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定次序排列的一列数 数列的项 数列中的每个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 4．数列的分类 单调性 递增数列 n∈N*，an＋1an 递减数列 n∈N*，an＋1an 常数列 n∈N*，an＋1＝an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期性 周期数列 n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an [题组练透] 1．数列，，，，，…的一个通项公式是____________________________________． 解析：通过观察各项，可得分母为(2n－1)(2n＋1)，分子为2n，则an＝. 答案：an＝ 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)(易错题)－，，－，，…； (3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)； (4)9,99,999,9 999，…. 解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an＝2(n＋1)，nN*. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×，nN*. (3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝ (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，nN*. [谨记通法] 由数列的前几项求数列通项公式的策略 (1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下： 分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征； 各项符号特征等． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．如“题组练透”第2(2)题． [典例引领] 已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合此等式， an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 当b＝－1时，a1适合此等式． 当b≠－1时，a1不适合此等式． 当b＝－1时，an＝2·3n－1； 当b≠－1时，an＝ [] 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． [] 已知数列{an}的前n项和为Sn. (1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an； (2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an. 解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1) ＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)] ＝(－1)n＋1·(2n－1)， 又a1也适合此式， 所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)． (2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2