数学专题复习-椭圆.doc

椭圆专题复习（一） 高二一部数学组 刘苏文 2017年4月23日 【考纲要求】 1. 掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程； 2. 掌握椭圆的简单几何性质 1. 椭圆的定义 1. 第一定义： 满足 的动点的轨迹是以为焦点，长轴长为 的椭圆 2. 第二定义： 到一个定点与到一定直线的距离之比等于 一个常数(0e1)的点的轨迹叫椭圆（注意离心率的变化 与椭圆形状的变化）其中是椭圆的一个焦点，是相应于的准线， 定义式： 2. 椭圆的标准方程 （1）焦点在轴上： 焦点，，且满足： （2）焦点在轴上： 焦点，，且满足： （3）统一形式： 【注】为椭圆的定型条件，对三个值中知道 任意两个，可求第三个，其中 3. 椭圆的参数方程 焦点在轴上，中心在原点的椭圆的参数方程为： （为参数） （其中为椭圆的长轴长，为椭圆的短轴长） 4 椭圆的简单几何性质 以椭圆为例说明 （1）范围：， （2）对称性：椭圆的对称轴:轴，轴；对称中心：原点 （3）顶点：长轴顶点：，，短轴顶点：， （4）离心率： 。 【注】①；②越大，椭圆越扁；③ （5）准线：椭圆有左，右两条准线关于轴对称。 左准线： 右准线： （用第二定义推导） （6）焦半径：椭圆上任一点到焦点的距离。左、右焦半径分别为 ， 5 点与椭圆的位置关系 已知椭圆，点，则： 6 关于焦点三角形与焦点弦 （1）椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形。 设，则有： ① ，当（即为短轴顶点）时，最大， 此时(r表示焦半径) ② 的面积 当（即为短轴顶点）时，最大，且 ③ （2）经过焦点或的椭圆的弦，称为焦点弦。 设，的中点为， 则弦长 （左焦点取“+”，右焦点取“-”） 当轴时，最短，且 7 椭圆的光学性质（了解） 从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆反射后，经过椭圆的另一焦点。 *8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法 1 联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程， 设交点坐标为，则有，以及，还可进一步求出。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法 2 点差法：设交点坐标为代入椭圆方程，并将两式相减，可得，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法 二 典例剖析 1 求椭圆的标准方程 【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为，则椭圆方程为____________ 【例2】求与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的方程. 2 椭圆的性质 【例6】；椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为 【例7】方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ( ) 1. 离心率是圆锥曲线的重要性质，求离心率及其取值范围，就是寻找与或之间的关系 2. 求与椭圆有关的最值问题,有三种方法：（1）几何法;（2）三角代换法;（3）转化函数，利用函数的单调性求最值 3. 直线与椭圆的位置问题两种基本方法：（1）联立方程法;（2）点差法，前者涉及弦长与中点，后者涉及斜率，中点等. 4. 关于椭圆的补充性质（常在解题中遇到）： ①椭圆的内接矩形的最大面积为. ②过焦点 的直线交椭圆于P, Q两点，则当轴时，的面积最大，且最大面积为. ③设右准线与轴交于点E，过E点的直线与椭圆交于P, Q两点，点与点P关于轴对称，则直线一定过椭圆的右焦点，且 . ④设点P是右（左）准线上任一点（不在轴上），是椭圆的左右顶点，直线, 与椭圆分别交于两点，则直线一定过椭圆的右（左）焦点。 ⑤过右（左）焦点的直线与椭圆交于两点，是椭圆的左、右顶点，直线的交点一定在右（左）准线上。 巩固练习一、选择题1、与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是 ( )(A)翰林汇2、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ( )(A) (B) (C) (D)或3、椭圆中,F1、F2为左、右焦点,A为短轴一端点,弦AB过左焦点F1,则ABF2的面积为 （A）3 （B） （C） （D）44、方