数学抽象中的概念抽象.doc

数学抽象中的概念抽象 王建全 高中数学课程旨在培养和提高学生的数学核心素养，使学生获得良好的数学教育，不同的学生在数学上得到相应的发展。而数学抽象又是数学核心素养之一，在教学中应以数学学科的特征、高中学生的认知规律，以学生的最近发展区为主线来设计课堂教学。将数学抽象融入到教学过程中，去引导学生进行思考，突破思维障碍，达到学会数学知识，提高学生数学核心素养的目的。 图 数学概念的形成过程 知识的形成过程首先是由猜想开始的，然后根据所具备的知识进行探究、抽象、验证等来实现对未知知识的一个发现过程。其中，数学抽象在其中起了很大的作用，反之，概念教学也是对数学抽象这个核心素养的一个很好的培养过程。下面就任意角的三角函数这一课为例来说明如何将数学核心素养之一的数学抽象融入到课堂教学中。 一 猜想，类比过程 任意角的三角函数是任教A版必修四第一章第二节内容。首先复习直角三角形中的三角函数的定义，此时需强调，三角函数值只与角的大小有关与边长没有关系。 第二步引入钝角三角函数并提问，如何求钝角的三角函数，学生根据已有的知识是不能解答这个问题的，但是学生对于直角三角形中的定义此时是非常清晰的。这时设置一个引导性问题，能否依据直角三角形中的三角函数求法来解决钝角三角形中的钝角的三角函数值。 此时学生会过点B作高，这时写出的三角函数值令 但是同时会出现 那么引导学生提出是否相等这样的疑问。这个问题，学生是无法解答的。过点B做AB的高，这是一个类比过程。这样可以在钝角三角形中构造一个直角三角形，这样就可以用直角三角形的三角函数定义来写出钝角的三角函数，同时又出现了锐角的三角函数，而写出的两组三角函数值是否相等，这是一个猜想过程，这两个过程需要教师来引导学生完成。 二 分化过程 在出现上述猜想之后，学生中会出现迷茫分化现象。因为三角函数值只与角的大小有关而与边长是没有关系的。但是角与角是互补的，他们的三角函数值是否相等学生是无法解答的。这时提出问题：“我们能否借助数学工具来继续研究这个问题？”若学生想不到借助什么工具来研究这个问题，可继续提示，我们在将角扩展时借助的工具是什么?因为学生知道角是放在坐标系当中进行扩展的，这时学生自然会想到借助直角坐标系来研究钝角的三角函数。这时我们可将三角形放入直角坐标系中，因为三角函数值与直角三角形的边长没有关系，所以可直接将角放入直角坐标系中进行研究。这时设置一个问题，怎样把角放入到直角坐标系当中呢？这个角不是随意放入坐标系当中的，是根据直角坐标系中角的定义来放的。角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正方向重合。 三 抽象验证过程 这是一个关键过程，在我们把角放入直角坐标系中后，就需要学生讨论，研究，抽象出三角函数的定义了。 因为三角函数的大小与三角形的边长没有关系，所以在将角放入直角坐标系中时就不需要三角形了直接将角放入即可。如图 在锐角的终边上任意取一个点P( x,y)不与原点重合，此时写出三角函数值。 钝角做法与锐角相同。这时会发现该锐角的三角函数值与直角三角形是完全符合的，这是一个验证过程，说明刚才的猜想过程是正确的。而钝角的正弦值同锐角的相同，但余弦和正切值是负值，与刚才的猜想不同。继续提问，上述三个式子可否简化呢？ 因为角的三角函数值与P(x,y)点的位置无关，则令r=1时，最简单。若令r=1，则OP绕O点旋转一周，这时P点轨迹为一个圆，这个圆记为单位圆。此时将角扩展到任意角。如图 这时三角函数值为 。 继续引导学生讨论 时上述三角函数成立，当 时，没有意义，这时对于角为任意角的情况学生都进行了讨论。顺理成章的得出三角函数的定义。 四 概括形式化过程 对于确定的角上述三个值都是唯一确定的，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值得函数。得出定义 经过一系列的探讨，学生终于得到了三角函数的定义，这样的探讨过程也是三角函数的定义在学生脑海中的一个思维形成过程 ，并 不是强行灌输给学生的，这里教师所起的作用是引导学生把握数学 概念的本质，感悟数学思想，提升学生的数学抽象能力。 三角函数的定义到这里并没有结束，在这里可继续提问。既然三角函数的定义是用单位圆的坐标或坐标的比值来定义的，那么你还能得到哪些比值，能否继续定义三角函数？这时学生自然可以得到，，这三个比值。这时自然的给出余割，正割和余切的定义。这三个定义虽然课程标准没有要求，但是这是对学生思维的肯定和赞扬。相信学生此时内心的喜悦和自豪是无法形容的。 数学抽象是是数学的基本核心素养之一，在概念教学中是形成数学概念的思维过程。通过数学概念的教学有又对数学抽象这个数学核心素养进行了培养，使学生更深地去理解数学概念的形成过程。