高中数学必修4三角函数常考题型三角函数线及其应用.doc

三角函数线及其应用1．有向线段 带有方向的线段叫做有向线段． 2．三角函数线 图示 正弦线 α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线 余弦线 有向线段OM即为余弦线 正切线 过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线 例1　作出的正弦线、余弦线和正切线． [解]　角的终边(如图)与单位圆的交点为P. 作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与的终边的反向延长线交于点T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT. 类题通法三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT. 作出－的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图所示， －的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT. 【例2　分别比较sin与sin；cos与cos；tan与tan的大小． [解]　在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x轴非负半轴为始边作的终边与单位圆交于P点，作PMOx，垂足为M.由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT. 同理，可作出的正弦线、余弦线和正切线，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.由图形可知，MPM′P′，符号相同，则sinsin；OMOM′，符号相同，则coscos；ATAT′，符号相同，则tantan. 类题通法利用三角函数线比较大小的步骤 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：角的位置要“对号入座”；比较三角函数线的长度；确定有向线段的正负． 设α，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果α，上述长度关系又如何？ 解：如图所示，当α时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，ATMPOM； 当α时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′M′P′OM′. 例3　利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)sin α－；(2)cos α. [解]　(1)如图，过点作x轴的平行线交单位圆于P，P′两点，则sinxOP＝sinxOP′＝－，xOP＝，xOP′＝， 故α的范围是. (2)如图，过点作x轴的垂线与单位圆交于P，P′两点，则cosxOP＝cosxOP′＝，xOP＝，xOP′＝－， 故α的范围是. 类题通法利用三角函数线解三角不等式的方法 利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x≥b，cos x≥a(或sin x≤b，cos x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan x≥c(或tan x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得． 利用三角函数线求满足tan α≥的角α的范围． 解：如图，过点A(1,0)作单位圆O的切线，在切线上沿y轴正方向取一点T，使AT＝，过点O，T作直线，则当角α的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y轴)时，tan α≥.由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tan α≥，有30°≤α90°或210°≤α270°，故满足tan α≥，有k·180°＋30°≤αk·180°＋90°，kZ. 【练习反馈】 1．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在(　　) A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．第二、四象限的角平分线上 D．第一、三象限的角平分线上 解析：选C　由条件知sin α＝－cos α，α的终边应在第二、四象限的角平分线上． 2．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是(　　) A．MPOM0　　　B．OM0MP C．OMMP0 D．MP0OM 解析：选D　如右图所示，正弦线为MP，余弦线为OM，结合图像， 可知：MP0，OM0， 故OM0MP. 3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________． 解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为1. 答案：1 4．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是___________________________． 解析：如图，sin 1＝MP，cos 1＝OM. 显然MPOM，即sin 1cos 1. 答案：sin 1cos 1 5．在单位圆中画出满足sin α