高中数学必修4三角函数常考题型同角三角函数的基本关系.doc

同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan_α. 例1　(1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－，求sin α和tan α. [解]　(1)cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又α是第二象限角，所以cos α0，cos α＝－，tan α＝＝－. (2)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2， 因为cos α＝－0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；当α是第三象限角时，sin α＝－，tan α＝＝. 类题通法已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝msin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值． 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解：由tan α＝＝，得sin α＝cos α， 又sin2α＋cos2α＝1， 由得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 又α是第三象限角，故cos α＝－，sin α＝cos α＝－. 【例2　已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)sin2α＋cos2α. [解]　(1)原式＝＝＝； (2)原式＝＝＝－； (3)原式＝＝ ＝＝. 类题通法化切求值的方法技巧 (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的． (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值． 已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)； (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2 α. 解：(1)＝＝＝－1. (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α ＝， 这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式． 因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α， 则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝＝1. 例3　化简tan α，其中α是第二象限角． [解]　因为α是第二象限角，所以sin α0，cos α0. 故tan α＝tan α ＝tan α＝· ＝· ＝－1. 类题通法三角函数式化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 化简：(1)； (2) ，θ是第二象限角． 解：(1)＝＝＝cos θ. (2)由于θ为第二象限角，所以sin θ0，cos θ0， 故＝＝＝|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.例4　求证：＝. [证明]　法一：右边＝＝＝＝＝＝左边， 原等式成立． 法二：左边＝＝， 右边＝＝＝＝＝， 左边＝右边，原等式成立． 类题通法简单的三角恒等式的证明思路 (1)从一边开始，证明它等于另一边； (2)证明左、右两边等于同一个式子； (3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简． 证明：＝ 证明：左边＝ ＝ ＝＝＝ ＝右边， 原等式成立． 1．已知α，sin α＝，则cos α等于(　　) A.　　　　　　　　B．－ C．－ D. 解析：选B　α∈且sin α＝， cos α＝－＝－＝－. 2．若α为第三象限角，则＋的值为(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 解析：选B　α为第三象限角，原式＝＋＝－3. 3．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为________． 解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝，解得sin αcos α＝. 答案： 4．若tan α＝2，则的值为________． 解析：原式＝＝＝＝. 答案： 5．化简： . 解：原式＝ ＝ ＝＝1.