01(教师)数列的概念与简单表示法.doc

01、数列的概念与简单表示法 一、知识点 1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是一个定义域为正整数集N* （或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数f(n)．数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第n项． 2．数列的通项公式 一个数列{an}的第n项an与序号n之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示， 我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法． ⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式， 再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系， 再通过代数方法由递推关系求出通项公式. 4．数列与数集的区别 （1）数列有序，数集无序。（2）数列中有重复的数，数集中没有。 5．数列与函数的关系 （1）用函数观点看数列 数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数f(n),当它的自变量n从1开始依次取正 整数时，对应的一列函数值f(1),f(2),f(3),…… （2） 数列的图象表示： 图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可以是有限的。 6.数列的分类 （1）根据数列的项数：有穷数列------项数有限的数列； 无穷数列------项数无限的数列 （2）根据数列的每一项随序号变化的情况： 递增数列 、 递减数列 、 摆动数列 、常数数列 7．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为： 二、练习 1.已知，则数列的最大项是 。 答案：第12项或13项. 2、已知，则在数列的最大项为 （答：）； 3、已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围 答： 4、（江苏运河中学12年5月高一月考题）若数列的通项=2000（）， 则数列的前 项的乘积最大。答案：10。 提示：若=2000（）＜1，则n≥11,(注意：210=1024)，所以数列的前10项的乘积最大 5.已知数列对任意的满足，且，那么= -30 解：由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30 6、已知数列满足：则 ；= . 解：依题意，得，. ∴应填1，0. 02、数列通项公式的若干求法 求通项公式是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。 现举数例。 一、观察法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的数列观察分析每一项与其对应的序号有相同的关系， 寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式； 例1、数列的一个通项公式是 . () 练习一1. 已知数列 写出此数列的一个通项公式。 解：观察数列前若干项可得通项公式为 2、已知数列写出这个数列的一个通项公式; (2)根据判断数列的增减性. 解: (1) (2)因为 所以数列是递增数列 二、公式法 （1）已知数列的前n项和求通项时，通常用公式。用此公式时要注意结论有两种可能， 一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即a1和an合为一个表达式。 （2）利用等差、等比数列的通项公式 例2、已知数列{an}的前n和满足，求此数列的通项公式。 解：由已知条件当所以 练习二1、若数列的前项和为,且,则数列的通项公式 . 2、.已知数列的前项和，若第项，则序号 . 9 3、已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－10 ∴an－an－1=5 (n≥2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3满足，求数列的通项公式。 解：由得则 所以数列的通项公式为。 练