材料力学第十章精要.ppt

* Ⅱ. 单位力法 (1) 因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条件，且为微小位移，满足可变形固体的虚位移条件。因此，可以把由荷载引起的实际位移D，作为虚位移。由荷载引起的微段的变形位移dq , dl , dd , dj 作为变形虚位移。即以实际位移作为虚位移。 (2) 若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载。由单位力引起的内力记为 。 * （3）单位力所做的外力虚功为 We =1·D 单位力法的虚位移原理表达式为 (3-18) 该式同样适用于弹性体和非弹性体问题。 杆件的内力虚功为 * (3-19) 于是(3-18)成为 (3-20) 式中 为由单位力引起的内力， 为荷载引起的内力。 为大于1的系数，见例 3－20。 (4) 线弹性体 由荷载引起的微段变形位移公式为 * 在C 截面处施加单位力（图 b），由荷载及单位力引起的弯矩方程分别为 (0≤ x≤ l ) (a) 例 3－19 梁的弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。试用单位力法求 。 (0≤ x≤ l / 2) (b) 解： 1. 求 * 因为 均关于C 截面对称的，故C 截面的挠度为 （和单位力方向一致） （↓） * A截面处的转角为 （ ） （和单位力偶的转向相反） 在 A 截面处加单位力偶（图c），单位力偶引起的弯矩方程为 (0≤ x≤ l ) (c) 2. 求 * 中的 系数的表达式。 解：梁的单位力法公式的右端，是从梁中取出dx 微段，计算因弯矩和剪力引起的内力虚功而导出的。也可以从梁中取出一个单元体（图b）来计算内力虚功。仍然以单位力作为荷载，由荷载引起的实际位移作为虚位移。 例 3－20 试导出梁的单位力法公式 * 单元体各面上的总内力为 （也是单元体的外力） (b) 2. 由荷载引起的单元体的应力为 (c) 1. 由单位力引起的单元体的应力为 (a) 单元体的伸长量为dd ，错动量dl（图c, d）分别为 * 3. 单元体的外力虚功和内力虚功分别为 ( e ) （变形虚位移 ） (d ) * 式中， 令 (g) 4. 梁的内力虚功为 ( f ) 则 * 式中， （平均切应力）， （平均剪应变）， 为切应力不均匀系数，根据截面形状由 计算，矩形截面 ，圆截面 。 梁的外力虚功为1·D， 由 ，得 5. 梁的单位力公式 * 例3－22 图a所示为圆截面的半圆环小曲率杆，其直径为d，材料的弹性常数为E和G。荷载沿曲杆轴线均匀分布，其方向垂直半圆环所在的平面。试用单位力法求 A 端的铅垂位移DA 。 (b) (a) * 解：在A端加沿z方向的单位力（图b），由图c所示的几何关系可得荷载及单位力引起的曲杆横截面上的内力分别为 (a) (b) (b) (c) (d) * A端铅垂位移公式 (f) (e) 其中 * 其中（ ） 故 A 端的铅垂位移为 * 当G=0.4E , R=5d 时 由剪力产生的位移约占总位移的 0.4%，一般可不计剪力对位移的影响。 第三章完 * 例 图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数G=0.4E。试用卡氏第二定理求 A 端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）。 解：AB段的弯矩方程及其对F 的偏导数分别为 l C B A F l x x z y O （0≤ x≤ l） ， * （0≤y≤ l） A 端的铅垂位移为 ， ， （↓） BC段的弯矩和扭矩方程及其对F 的偏导数分别为 * Ⅰ. 卡氏第一定理 （ ） 例 各杆的弹性模量均为E，横截面面积均为A。试用卡氏第一定理求各杆的轴力。 §10－4 用能量法解超静定系统 * (2) 解：设1, 2, 3 杆的轴力分别为 , 和 （图b），相应的位移为D1, D2和D3（图c）。由对