极大无关组与向量组的秩精要.ppt

计算机数学 计算机数学 线性代数 1、向量组的极大无关组 2、向量空间 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示． 例1 注意: 定义３ 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 证 解 例 3 分析 向量组的秩 二、向量组的秩和极大无关组 设 A 为一非零 n 维向量组, A 中任一线性无关向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A). 规定零向量组的秩为 0. 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关. 向量组的极大无关组 设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, …, ar 为 A 中一个线 性无关向量组, 那么称 a1,…,ar 为 A 的一个极大无关组. 极大无关组的性质 设 A 为一向量组, 则部分组 a1,…,ar 为 A 的一个极 大无关组的充分必要条件是 (2) A 中任一向量可由 a1,…,ar 线性表示. (1) a1,…,ar 线性无关; 极大无关组不唯一，但是所含向量的个数都相等 提示: 事实上 练习： 说明 2． 维向量的集合是一个向量空间,记作 . 定义1　设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． 1．集合 对于加法及数乘两种运算封闭指 三、向量空间的概念 例4 判别下列集合是否为向量空间. 解 例5 判别下列集合是否为向量空间. 解 那末，向量组 就称为向量　的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． 定义 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 四、向量空间的基与维数 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基． 说明 （3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为 （2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的极大无关组, 的维数就是向量组的 秩.