巧用圆锥曲线的概念解几何综合题.pdfVIP

语数外学习 Ｎｏ．０４．２０１３ ＹｕＳｈｕＷａｉＸｕｅＸｉ ２０１３年第４期 巧用圆锥曲线的概念解几何综合题 张 烊 （句容市实验高级中学，江苏 镇江 ２１２４００） 摘 要：立体几何在高中数学教程中分为立体几何初步（苏教版必修２）和空间向量与立体几何（苏教版选修２ １）两部分内容， 立体几何初步主要内容为空间几何体和点、线、面之间的位置关系；空间向量与立体几何主要内容为空间向量的概念与运算以及用空 间向量解决空间中的线面位置关系的判定与空间角的计算问题。本文通过几道例题巧用圆锥曲线的概念解几何综合题。 关键词：高中数学；圆锥曲线的概念；解几何综合题；举例 中图分类号：Ｇ６３３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５ ６３５１（２０１３） ０４ ００７６ ０１ 我们知道立体几何与解析几何的综合应该为空间解析几何， 槡３ 离心率为 的椭圆。求这束光线与水平面的入射角的大小。 即通过建立空间直角坐标系，用坐标和向量来研究空间中的点、 ２ 线、面的位置关系与度量关系，这些却不在高中数学教程之内。 分析１：根据平行投影不难想象和光线垂直的大圆在地面上 例１：（２００８年扬州市高三第四次调研卷）一只半径为Ｒ的球 的投影即为球的投影，且直径ＡＢ 的投影ＡＢ是椭圆的长轴，和 １ １ 放在桌面上，桌面上一点Ａ的正上方相距（３＋１）Ｒ处有一点光 ＡＢ垂直的直径ＤＥ的投影ＤＥ是椭圆的短轴。 槡 １ １ １ １ 解１：光线与水平面的入射角为 ＡＢＧ ．球的半径为Ｒ．因 源Ｏ，ＯＡ与球相切，求球在桌面上的投影———椭圆的离心率为？ ∠ α 分析：本题是立体几何中的中心投影、球、圆锥与解析几何中 为２ｂＥＤ ＤＥ ２Ｒ，由ｂ １ ２ １，得２ａ ４Ｒ，即ＡＢ ｅ １ １ 槡 的椭圆的综合，求解离心率关键是根据题意得出关于ａ、ｂ、ｃ的另 ａ ２ ２ ２ ２ ＡＧ １ 一个关系式（不是ａ ｂ＋ｃ），由中心投影可知ＡＢ是椭圆的长 ４Ｒ，ＡＧ ２Ｒ，在ＲｔＡＢＧ中，ｓｉｎ ，所以 ３０°。 Δ α α ＡＢ ２ 轴，但短轴却很难求解，本题可联想选修２ １Ｐ２３圆锥曲线的概 有兴趣的同学可以思考例１为什么不能用投影的方法求２ｂ？ 念中图２ １ ２。 ＭＦ ＭＰ，ＭＦ ＭＱ，故ＭＦ ＋ＭＦ ＭＰ＋ＭＱ ＰＱ ＶＰ １ ２ １ ２ ＶＱ（常数），得Ｍ的轨迹是以Ｆ，Ｆ为焦点的椭圆，也即椭圆与球 １ ２ 的切点为椭圆的切点。 据此，例１图中椭圆面与圆锥面的内切球的切点为椭圆的焦 点，即Ｆ点为所求椭圆的一个焦点，则问题迎刃而解。