概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案精要.doc

【经典例题】 【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A．1- B．-C． D． 【答案】【解析】令OA=1，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为S1，围成OC为S2，作对称轴OD，则过C点．S2即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，S2=()2-××=．在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和，=π×12--=，S1+S2=，扇形OAB面积S=，选A． 【例2】2013湖北如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】X的取值为0，1，2，3且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，选B. 【例3】（201四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y秒闪亮，由题意满足条件的关系式为－2≤x－y≤2. 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为＝. 【例4】（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 . 【答案】【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2【例5】2013江苏现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________． 【答案】 【解析】基本事件共有7×9＝63种，m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇数共有20种，故所求概率为. 【例6】2013山东在区间[－3，3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________． 【答案】 【解析】当x－1时，不等式化为－x－1＋x－2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x＋1＋x－2≥1，解之得x≥1；当x2时，不等式化为x＋1－x＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x－2|≥1的解集为.在上使不等式有解的区间为，由几何概型的概率公式得P＝＝. 【例7】2013北京下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天． （1）求此人到达当日空气重度污染的概率； （2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 【答案】；3月5日【解析】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)． 根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝(i≠j)． （1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8. 所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝. （2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且 P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11) ＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝， P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13) ＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝， P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. （3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 【例8】（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． （1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率； （2）若小