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1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) . (2) 设具有二阶连续导数,则 . (3) 设为椭圆其周长记为,则 . (4) 设为阶矩阵,,为的伴随矩阵,为阶单位矩阵.若有特征值,则必有特征值 . (5) 设平面区域由曲线及直线所围成,二维随机变量在区域上服从均匀分布,则关于的边缘概率密度在处的值为 _ . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1) 设连续,则 ( ) (A) (B) (C) (D) (2) 函数不可导点的个数是 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (3) 已知函数在任意点处的增量且当时,是的高阶无穷小,,则等于 ( ) (A) (B) (C) (D) (4) 设矩阵是满秩的,则直线与直线 ( ) (A) 相交于一点 (B) 重合 (C) 平行但不重合 (D) 异面 (5) 设是两个随机事件,且则必有( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题满分5分) 求直线在平面上的投影直线的方程,并求绕轴旋转一周所成曲面的方程. 四、(本题满分6分) 确定常数,使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度,并求. 五、(本题满分6分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(从海平面算起)与下沉速度之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,体积为,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为.试建立与所满足的微分方程,并求出函数关系式. 六、(本题满分7分) 计算其中为下半球面的上侧,为大于零的常数. 七、(本题满分6分) 求 八、(本题满分5分) 设正项数列单调减少,且发散,试问级数是否收敛？并说明理由. 九、(本题满分6分) 设是区间上的任一非负连续函数. (1) 试证存在,使得在区间上以为高的矩形面积,等于在区间上以为曲边的梯形面积. (2) 又设在区间内可导,且证明(1)中的是唯一的. 十、(本题满分6分) 已知二次曲面方程,可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程,求的值和正交矩阵. 十一、(本题满分4分) 设是阶矩阵,若存在正整数,使线性方程组有解向量,且, 证明：向量组是线性无关的. 十二、(本题满分5分) 已知线性方程组 的一个基础解系为,试写出线性方程组 的通解,并说明理由. 十三、(本题满分6分) 设两个随机变量相互独立,且都服从均值为0、方差为的正态分布,求随机变量的方差. 十四、(本题满分4分) 从正态总体中抽取容量为的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量至少应取多大？ 附表：标准正态分布表 1.28 1.645 1.96 2.33 0.900 0.950 0.975 0.990 十五、(本题满分4分) 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程. 附表：分布表 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】 【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换, 原式 . 方法2：采用洛必达法则. 原式 . 方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至项, ,, 从而 原式